含高斯函数项方程解的探索*

韩祥临 ，范光欢

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州 313000)

1 预备知识

高斯函数是现代数论函数中的一个重要函数，它在近现代数论和其它数学学科都有相当广泛的应用，并频频地出现于各个级别的数学竞赛中，这足以显示出它的重要地位。这类问题的解决需要对它的定义、性质作深刻的理解，并且解题要求有很强的技巧。这里，我们先简述高斯函数的定义和基本性质[1-2]，为探讨含高斯函数项方程的求解方法做准备。

定义：高斯函数[x]又称取整函数，即对任意实数x，x是不超过 的最大整数，称[x]为x的整数部分，与它相伴随的{x}是小数部分。

性质：(1)y=[x]的定义域为R，值域为Z；(2)y={x}的定义域为R，值域为[0,1)；(3)对任意实数x，都有x=[x]+{x}，且0≤{x}<1；(4)对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x⟺x-1<[x]≤x<[x]+1；(5)若[x]=n，则n≤x

2 含高斯函数方程解的探求

含高斯函数的方程已经由许多学者从不同角度进行了探讨[3-7]，这里结合具体实例对相关方法进行归类总结，并进一步进行分析。

2.1 换元法

含高斯函数项方程中主要类型为[f(x)]=g(x)型，其中f(x)，g(x)均为有理系数多项式，解决此类方程主要应用换元法。此方法主要应用了[x]为整数，令g(x)=t，并结合性质(3)、(4)、(5)确定t的取值，最后根据t的取值情况求出x的值。

说明：(1)当方程形如{f(x)}=g(x)时，应用定义x=[x]+{x}将{f(x)}转化为f(x)-[f(x)]，这样便把问题转化成了[f(x)]=g(x)型；(2)当方程形如{f(x)}=g(x)时，利用性质(3)有0≤g(x)<1，进而可求出 的范围，从而确定f(x)的取值范围，最后就可求解x的值；(3)之前所用的换元法都是将[f(x)]=g(x)中的g(x)换为整数t，事实上，若令[g(x)]=n，再由性质5对原方程进行变换，求出n，从而确定x，也可以很容易地解决含高斯函数的方程。此类换元适合f(x),g(x)都为1次或2次整系数多项式的情形。

2.2 图像法

图像法作为解决问题的一个常用方法，在含高斯函数项方程中，由于y=[x]的图像为阶梯形。充分利用这一特点，采用图像法可使问题变得简单。

例2：解方程x3-[x]=3

2.3 放缩法

该方法充分利用了性质(4)，用x-1和x分别作为替代[x]的上下界，得到一个关于x的不等式组，解此不等式组确定x的可能取值，经验证得到x的取值。该方法适用于方程中只含一个高斯函数项的情形。特别是当方程形似于普通一元二次方程的情形。

例3:求方程3x2-20[x]+12=0的实数解

解：由x-1<[x]≤x可将原方程化为不等式组

(1)

2.4 构造法

构造法有两种情形：(1)由定义构造，即利用x=[x]+{x}或x=n+r,(n∈Z,0≤r<1)变形原方程；(2)配方法。在使用构造法时所要求的技巧很强，必需对题目进行充分地分析。

例4：求x3-[x]=3的解

大家熟知的配方法(事实上也是变形法的一种)在解高斯函数方程中也有出现。

2.5 分区间讨论法

此方法实质上为分类讨论法。当方程中含有高次多项式，特别是当该高次多项式所对应的函数图像是不熟悉的无法准确作图，甚至无法作图时，该方法就充分体现了其优越性(其思想类似于含绝对值方程中的去绝对值过程)。

例6：解方程3x3-[x]=3

2.6 一类特殊方程的解法

这里重点讨论形如[f(x)]=[g(x)]的方程的求解，可用性质8若[x]=[y]，则|x-y|<1求解。

(3)

于是，由性质6 当1-2x∈Z时，

3 结语

因为含高斯函数项方程求解的方法具有多样性和灵活性的特点，所以对这类问题的求解比较困难。本文从六个方面分类予以探讨，并举例进行了分析与说明。这无论对大学数学的教学与研究，还是对中学生的思维都有一定的帮助，并且此类题使得学生有机会接触到经典的数学知识，对提高中小学生的学习兴趣也有相当的益处。当然，含高斯函数项方程求解是一个非常困难的大课题，今后我们还有待继续予以深入地研究。

参考文献：

[1] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M]. 北京:高等教育出版社,2003:19-23.

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