刚架结构振动特性分析的精细传递矩阵法

2010-04-14李慧

山西建筑 2010年12期

李慧

固有振动特性是结构的重要性能，它决定了结构的地震反应行为和抗震性能。本文运用微分方程和矩阵分析理论，将传递矩阵法与精细积分法相结合[1，2]，利用转折处的坐标变换矩阵和分支点处的传递矩阵，满足了位移的协调条件和力的平衡条件，最终将刚架这类结构的动力分析演化成一链式的矩阵相乘过程，从而求得其自振时的各阶频率。本方法具有较高的精确度，而且力学概念清晰，适于在微机上加以应用。

1 横向自由振动的传递矩阵

直梁在横向的自由振动如图1所示，其振动微分方程[3]为:

其中，E为弹性模量;I为惯性矩;¯m为梁单位长度上的质量。

由结构的几何、物理条件[4]得:

将式(2)写成矩阵的形式为:

式(3)的一般解为:

将梁总长离散成步长为Δx的距离间隔，则任一位移 xk=kΔx(k=1，2，3…)，而 xk+1=xk+Δx，根据式(4)可得 S(xk+1)和S(xk)之间的转换关系:

其中，Ti(Δx)=eAΔx。

根据指数矩阵的精细算法[5]即可得到直梁横向振动的传递矩阵Ti:

2 转折处的传递矩阵

在转折处如图2所示，左右状态向量存在如下的转换关系:

其中，¯Ti为转折处的传递矩阵。

3 自振频率的求解

各段梁的传递矩阵确定之后，任一段的状态向量可由式(8)求得:

如全梁划分成 n段，则有:

其中，T为梁的总体传递矩阵。

将结构的两端边界条件引入式(9)得到频率方程:f(ω)=0，运用频率搜索法即可求出各阶振动频率 ωj(j=1∶n)。

4 算例分析

某大跨径结构的简化模型[6]如图3所示。计算中，以相对值表达取EI1=1，EI2=2，EA1=1，EA2=2，l1=1，l2=2，¯m=5。该模型有3个场矩阵和2个坐标转换矩阵。传递矩阵式为Sn=T3¯T2T2¯T1T1S0。其前4阶自振频率列于表1。作为比较，表 1还列出了该模型的理论解及有限元软件ANSYS的计算结构。由表1可知，精细传递矩阵法的计算结果与理论解法的计算结果完全一致，有限元法计算的结果偏小，但是在相同的有效数内，结果也是一致的。可见本文的方法是正确的，而且具有较高的精度。