物理教学中涉及到的几种熵及其拓展简介

尹晓峰

(安徽大学物理与材料科学学院,安徽合肥 230039)

物理教学中涉及到的几种熵及其拓展简介

尹晓峰

(安徽大学物理与材料科学学院,安徽合肥 230039)

本文着重介绍了物理教学中涉及到的克劳修斯熵、玻尔兹曼熵和信息熵的概念,详细阐述了它们的物理意义。另外本文还简单介绍了熵在其它科学领域的应用。

信息熵;统计力学熵;玻尔兹曼熵;热力学熵;克劳修斯熵

熵是反映物质内部状态的一个物理量。它不能直接测量,只能推算出来。随着科学的发展,它几乎在每一个学科中都产生了新的变种,很难说清楚其全部成员。熵定律存在于我们生活的每一方面,正逐步成为我们用来解释自然现象、社会现象的科学理论。爱因斯坦曾说过“熵理论,对于整个科学来说是第一法则”。那么熵的物理意义究竟是什么呢?本文对物理教学中涉及到的几种熵(即克劳修斯熵、玻尔兹曼熵、信息熵)的概念作了详细地介绍,同时阐述了它们的物理意义。另外,还对熵在其它科学领域内的应用作了点简单地介绍。文章试图使初学者对熵有较全面的了解,对物理学中涉及到的几种熵则有较深刻的认识。

1 熵的定义

热力学第二定律是独立于热力学第一定律的另一个基本规律,它要解决的是与热现象有关的能量传递和转化过程的方向性和不可逆性问题。热力学第二定律有多种不同的表述形式,在物理化学中最常用的是下面两种说法:

克劳修斯(Clausius)的说法(1850年):不可能把热从低温物体传到高温物体而不留下任何其它变化。

开尔文(Kelvin)的说法(1851年):不可能从单一热源吸热并使之全部转变为功而不留下任何其它变化。

为了能定量描述热力学第二定律,1854年德国科学家克劳修斯提出了一个新的态函数——熵 S,1865年又将热力学第二定律用不等式ΔS≥0定量来描述。考虑到S的物理意义与“能”相近,在字形上也应尽可能的相似,克劳修斯把它称为“entropy”,“entropy”在希腊语中的源意为“内向”,亦即“一个系统不受外部干扰时往内部最稳定态发展的特性”。中文“嫡”,是由我国物理学家胡刚复先生于1923年5月25日,为普朗克在南京的讲演做翻译时所创。“entropy”这个概念很复杂,胡先生想了一个简单的方法,根据公式认为 S为热量与温度之商,而且此概念与火有关,构成一个新字“熵”。“熵”相当贴切,又形象地表达了态函数“entropy”的物理概念,因此被广泛采用[1]。

2 热力学熵分析

1865年克劳修斯在《关于机械热理论主要方程的各种应用的简便形式》论文中,给出了一般的循环过程:等号对应可逆过程,不等号对应于不可逆过程。由此熵S的定义为当系统经历绝热过程或系统是孤立的时候,dQ=0,此时dS≥0,即熵增原理:孤立系统或绝热过程熵总是增加的。由此定义的熵称克劳修斯熵,或热力学熵[2]。克劳修斯首先考察自行发生的“正过程”和必须在外界干预或补偿的条件下才能实现的“逆过程”,寻找到一个“转变含量”S把不同形式的转变过程相互比较,从而使热力学第二定律定量化,最终得以有熵的诞生。熵在宏观意义上也可以作为能量在空间分布的均匀度的量度,能量分布越不均匀,有序度越高,则熵就越小,能量转化为功的效率越高。若能量分布已完全均匀,熵达到最大,这时不可能再发生宏观流,也就不能获得功。当能量从一个较高的集中程度转化到一个较低的集中程度(或由较高温度变为较低温度)时,它就做了功。每一次能量从一个水平转化到另一个水平,都意味着下一次能再做功的能量就减少了。比如河水越过水坝流入湖泊。当河水下落时,它可被用来发电,驱动水轮,或做其他形式的功。然而水一旦落到坝底,就处于不能再做功的状态了。所以,熵可作为能量不可用程度的量度。根据卡诺热机的效率公式也可得同样结论:η=W/Q=(T-T0)/T ＞η1=(T1-T0)/T 。其中,T＞ T1＞ T0,所以,T1比 T更接近于T0,相同的热量传递却只能做更少的功。

孤立系统中自发过程会使系统的熵增大,其物理实质何在?在一定条件下,系统有从非平衡态自发过渡到平衡态的倾向,这种倾向在宏观上为什么总是单向的?有没有可能自动出现相反的倾向?为什么与热相联系的一切宏观过程都是不可逆的?对这一系列问题,热力学都不能给予本质的回答。需要采用微观统计的方法来探讨关于过程不可逆性及熵函数的微观意义,也只有这样才能更深刻地认识热力学第二定律的本质,并使第二定律的应用从热力学的范畴扩展到自然科学的其他分支。

3 统计力学熵分析

在维也纳中央公墓,玻尔兹曼的墓碑上没有墓志铭,仅仅铭刻着:S=klnW,后人评价,在简洁与深邃之间,整个物理学史上,能与之媲美的仅有牛顿的→F=m→a和爱因斯坦的 E=m c2[3]。玻尔兹曼公式适用于系统所有微观态等概率出现的假设平衡态体系,式中k是波尔兹曼常数,W为该宏观状态的热力学概率。该公式所定义的熵也被科学家们称为统计力学熵,玻尔兹曼熵。

平衡态体系内微观粒子无规则运动与非平衡态粒子运动相比混乱度更大,即当粒子无规则运动最乱、最无序时,才能使体系内部各处的温度、密度等性质达到均匀一致,以致最后趋向于平衡态。根据公式:S=klnW可知,过程总是从热力学几率小的状态向热力学几率大的状态过渡。所以熵增加的过程,即孤立系统由非平衡态趋向平衡态的过程,正是体系内微观粒子无规则运动由不太乱变得更加乱的过程。由此可见,熵的物理意义在微观上正是粒子无规则运动混乱程度(或无序程度)的量度。熵增加就是从有序向无序发展的过程。

统计熵指出,孤立系统必然要从包含微观态数目少的宏观状态向包含微观态数目多的宏观状态演化;必然要从各微观态概率分布不均匀的状态向各微观态概率分布均匀的状态演化。比如,在孤立系统中,气体总是从高压流向低压,直到压力相等为止;热从高温流向低温直到温度相等为止;两种气体相互混合,便相互扩散达到均匀状态为止等,都是从熵小的状态向熵大的状态转变。

克劳修斯熵只对系统的平衡状态才有意义,因为平衡态的熵有最大值,可以说克劳修斯熵是玻尔兹曼熵的最大值。此外,玻尔兹曼的统计熵与克劳修斯熵相比还有有三个方面的优点:其一是它能对体系自身的熵值进行度量,而克劳修斯熵只度量了体系的熵变的量,这造成了对体系熵变的度量便是相对的而非绝对的;其二是它把体系的熵的大小直接与体系微观态的数目及其各自的发生概率关联起来,而克劳修斯熵是通过热量的变化和对体系影响的中间环节来间接地测度体系熵的变化,这造成了对体系熵变的度量模糊不清;其三,玻尔兹曼熵内在包含着对热量之外的因素所规定的体系熵值的度量,而克劳修斯熵只对由热能的增减这一单一因素的影响所引起的体系熵变量进行了度量,至于由其他因素所可能引起的体系熵变则是此公式所无法说明的,从公式的形式来看,这一点也是很明白的,这就是公式的结果只和δQ(热能的改变量)和 T(体系的温度)相关,这造成了对体系熵变的度量便是狭隘的。由于存在这三方面的优势,玻尔兹曼熵便很容易被拓展为广义熵。

4 信息熵分析

1948年,C.E.Shannon将统计熵概念扩展到了信息论的研究之中,给熵以新的意义,这样熵不仅是物理学中极为重要的物理概念,而且在数学,化学,宇宙学、生物学、信息论、控制论、经济学、社会学及各种工程科学等领域显露头角。

申农把信息熵和统计力学熵概念相联系,认为它作为信息、选择和不确定性的度量,与统计力学中熵的公式是一样的。物理熵和信息熵,两者的主要特性相同,后者可看成是前者的推广,而其差异则可互为补充,从而有可能统一成为一种应用广泛的统计熵。关于信息熵的详细数学性质,请参阅文献[4,5]。他将所有事件组成的整体作为一个系统,每个事件为一个子系统,所有子系统等概念出现,即最均匀分布,此时熵最大。例如:以纺织行业为系统,以每个纺织厂为子系统,计算棉纱产量的信息熵的大小,不仅可以反映出这些工厂产量的分布是比较平均(熵值较大),还是比较集中(熵值较小);而且还可以得出系统在外界影响下的行为:系统熵大时,系统的抗“灾害”能力较强,不论哪一个工厂产量受损失,整个系统的产量损失都不大;反之,生产比较集中,一旦受损失将对整个系统产生很大影响。信息熵的不确定性与子系统的平均程度同向变化。

显然,在热力学中熵作为不可用能的度量、在统计物理学中熵是系统无序程度的度量、在信息论中熵是系统不确定程度的度量。这些定义都根据不同的研究领域、不同的熵计算公式所解释的。据不完全统计,目前至少有70～80种熵分别应用于生命科学、系统科学、经济学、生态学、哲学、文学、艺术、历史学、语言学、宗教学等各个领域中。在不同的学科中,产生了许多的新的熵概念:地理熵、气象熵、生命系统熵、农业系统熵、社会熵、经济熵、文化熵、人体熵、精神熵、思维熵、心熵、环境熵[6]等等。在这些场合中,有些只是用作“无序程度”的代名词,描述过程的发展方向,用法是熵的本来意义的延伸。21世纪,随着熵理论应用趋于普遍,也需要一个更为一般的定义。

[1] 冯端,冯少彤.溯源探幽:熵的世界[M].北京:科学出版社,2005:28-35.

[2] 李鹤龄.信息熵、波尔兹曼熵以及克劳修斯熵之间的关系[J].大学物理,2004,12:37-40.

[3] 冯端,冯少彤.溯源探幽:熵的世界[M].北京:科学出版社,2005:50-55.

[4] Shannon C E.A mathematical theory of communication[J].Bell Sys Tech J,1948,27:379-433.

[5] Shannon C E.A mathematical theory of communication[J].Bell Sys Tech J,1948,27:623-659.

[6] Rifkin J,Howard T.熵:一种新的世界观[M].上海:译文出版社,1987.

Entropies in Physics Teaching and Brief Introduction about Their Extensions

YIN Xiao-feng(School of Physics&M aterial Science,Anhui University,Hefei 230039,China)

In this paper the concep tionsof the Clausius entropy and the Biltzmann entropy aswell as the information entropy confronted in physics teaching are amp ly described.Their physicalmeaningsare expatiated.Moreover,the concise introduction of their extensions in other science fields is also offered.

Clausius entropy;Thermodynam ic entropy;Biltzmann entropy;statistical entropy;Info rmation entropy

G642.0

B

1674-2273(2010)06-0045-03

2010-03-25

尹晓峰(1971-),女,安徽大学物理与材料科学学院教师,研究方向:电磁场理论。