关于度量空间中终于周期点集的注记

冉海全

(重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆 400047)

终于周期点,回归点，和非游荡点的概念都是由周期点的概念推广得到的概念，它们是动力系统中的重要概念.在紧致度量空间中，关于这些点的研究早在20世纪30～40年代就已经开始.本文讨论离散半动力系统回归性的另一层次终于周期点，1988年周作领在文献[1]中提到了终于周期点的概念，并给出一些性质；2007年陈媛媛等在文献[2]中双重逆极限空间的终于周期点一定是周期点.本文在紧致度量空间中给出几乎周期点的一些性质，讨论了终于周期点与周期点、回归点之间的关系.

1 预备知识

本文恒设(X,ρ)为度量空间，f:X→X为连续映射.

定义1[3]点x∈X称为f的周期点，如果存在整数n>0，使得fn(x)=x，f的全体周期点组成的集合记为P(f).

定义2 点x∈X称为f的终于周期点，如果存在整数n>0，使得fn(x)∈P(f)，f的全体终于周期点组成的集合记为EP(f).

定义3[3]点x∈X称为f的回归点，如果∀ε>0，存在整数n>0，fn(x)∈O(x,ε)，f的全体回归点组成的集合记为R(f).

定义4[3]A⊂X称为f的不变子集，如果f(A)⊂A.A⊂X称为f的强不变子集，如果f(A)=A.

定义5 点x∈X称为f的非游荡点，如果∀ε>0，存在整数n>0，使得f-n(O(x,ε))∩O(x,ε)≠φ，f的全体非游荡点组成的集合记为Ω(f).

引理1[3]对任意f∈C0(X,X)，有P(f)⊂R(f).

引理2[4]对任意f∈C0(X,X)，有f(P(f))⊂P(f).

2 主要结果

命题1EP(f)为f的不变子集，即f(EP(f))⊂EP(f).

证明设∀x∈f(EP(f))，则∃y∈EP(f)，使f(y)=x.由y∈EP(f)知：∃n>0，使得fn(y)∈P(f)，由f连续与引理2，则有f°fn(y)∈f(P(f))⊂P(f)，即fn(f(y))∈P(f)，即有fn(x)∈P(f)，于是对上述的n>0，有fn(x)∈P(f)，从而x∈EP(f)，故f(EP(f))⊂EP(f).

命题2 对任意f∈C0(X,X)和n∈N+，有EP(fn)⊂EP(f).

证明设∀x∈EP(fn)，则∃N>0，使得fn·N(x)∈P(f)，令M=nN，则有fM(x)∈P(f)，由几乎周期点的定义知：x∈EP(f)，故有EP(fn)⊂EP(f)

命题3 对任意f∈C0(X,X)，有(1) 若P(f)=φ，则EP(f)=φ，(2)P(f)⊂EP(f).

证明(1)由终于周期点的定义，显然成立.

(2)设∀x∈P(f)，设其周期为n，则有fn(x)=x，显然有fn(x)∈P(f)，于是存在n>0，使得fn(x)∈P(f)，从而x∈EP(f)，故P(f)⊂EP(f).

定理4 ∀f∈C0(X,X)，R(f)∩EP(f)=P(f).

证明一方面，由引理1知：P(f)⊂R(f)，由命题1知：P(f)⊂EP(f)，故有P(f)⊂R(f)∩EP(f).另一方面，设∀x∈R(f)∩EP(f)，则x∈R(f)且x∈EP(f)，由x∈R(f)知：∀ε>0，∃n1∈Z+使得fn1(x)∈O(x,ε)，由x∈EP(f)知：∃n2∈Z+，使得fn2(x)∈P(f)，不妨设∃x′∈P(f)，使得fn2(x)=x′.

下证x∈P(f)，假设n1≠n2，则有：

ρ(fn1(x),x)≤ρ(fn1(x),fn2(x))+ρ(fn2(x),x)≤

ρ(fn1(x),x)+ρ(fn2(x),x)+ρ(fn2(x),x)=

ρ(fn1(x),x)+2ρ(fn2(x),x)<ε+2ρ(fn2(x),x)<ε

于是有ρ(fn2(x),x)<0，这与ρ的非负性矛盾，故n1=n2.不妨设n1=n2=M，则：

ρ(fn1(x),x)=ρ(fM(x),x)=ρ(x′,x)<ε，

由ε的任意性知，x=x′，于是∃M>0，使得：

fM(x)=x，即x∈P(f)，故有R(f)∩EP(f)⊂P(f).

[1]周作领.一维动力系统[J].数学季刊，1988，3(1)：42-47.

[2]陈媛媛,范钦杰.双重逆极限空间上移位映射的动力性质[J].吉林师范大学学报:自然科学版,2007(4):46-48.

[3]熊金城.线段映射的动力体系：非游荡集，拓扑熵以及浑乱[J].数学进展，1988，17(1)：1-9.

[4]张伟年.动力系统基础[M].北京：高等教育出版社，2001：6-21.