一元二次方程概念教学的尝试与启发

■黄玉华

一元二次方程概念教学的尝试与启发

■黄玉华

数学概念是人们通过实践，从数学研究对象的众多属性中经高度概括抽象出的本质属性。数学概念具有高度的抽象性，这是数学概念难教、难学的原因之一。教学时只有根据概念的特点和课标的要求,结合学生的认知基础，灵活采用教学方法，才能创造出课堂的精彩。下面结合一元二次方程概念的教学，我谈谈在概念教学方面一点尝试和启发。

一、教学设计构想

复习一元一次方程和二元一次方程，由学生说出一元一次方程和二元一次方程概念及方程的特点，让学生领悟整式方程中的“元”和“次”的意义。类比一元一次方程概念让学生大胆猜想一元二次方程的概念，然后一步一步地完善概念，建构自己的知识体系。

二、教学过程

师：什么叫方程？我们以前研究过哪些种类的方程？它们有怎样的特点？试举例。

生1：含有未知数的等式叫方程，我们已经学习过一元一次方程和二元一次方程，还有分式方程。一元一次方程的特点是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程，如2x+1=0；二元一次方程的特点是含有两个未知数并且所含未知数项的最高次数是1的整式方程，如3x-2y=5；分式方程的特点是分母中含有未知数，如。

师：（一边板书课题，一边提问）今天我们一起来学习一种新的整式方程—一元二次方程，你能类比一元一次方程、二元一次方程的概念猜想出一元二次方程的概念吗？请举例说明。

生2：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，如。

师：（一边板书一元二次方程的概念，一边提问）一元二次方程与以前所学的一元一次方程有何异同？

生3：不同点是一元二次方程所含未知数的最高次数2，而一元一次方程所含未知数的最高次数1，相同点是都只含有一个未知数，并且都是整式方程。

师：请小组内每人写一个一元二次方程，相互交流，比哪一小组的形式多样？（教师巡视）

小组1：①2x2=1，②x2+2x=0，③3x2+2x-1=4，④x2=0，⑤（x-1）2=2。

师：请同学们把这些方程变形，使等号右边变成0，左边按照未知数的次数由高到低顺序排列。你们能发现这些一元二次方程有什么共同特点，有什么不同特点？你能用字母系数来表示出一元二次方程吗？思考后写出来，小组交流。

小组2：我们发现变形后的这些一元二次方程左边第一项都含未知数的二次项，但有的方程缺一次项，如方程①；有的方程缺常数项，如方程②；有的方程既缺一次项，又缺常数项，如方程④。我们这一小组用字母系数来表示出的一元二次方程的形式是mx2+nx+p=0。

师：这里的字母系数m、n、p能取任意实数吗？为什么？

生3：m≠0，否则未知数的最高次数就不是2次了,方程也就不是一元二次方程了。

师：n和p呢？

生4：n、p可以任意取。

师：（板书）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

三、教学启发

1.猜想是让学生形成概念的重要思维方法

引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，是培养学生形成概念的一种重要思维方法。

2.针对学生心理特点灵活采用概念认知方式

概念有两种基本形式—概念形成和概念同化。从学习过程来看，概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设，并进行检验，最后发现概念的本质属性；而概念同化主要依靠新旧知识的联系，判别学习的概念与原有认知结构中有关概念的异同，并组成概念的网络系统。它们所需的条件不相同，概念形成的学习条件是学生必须辨别正反例证，同时外界要有反馈信息；而概念同化的学习条件是学生认知结构中必须有同化新概念的有关概念，外界要有新概念的定义或对概念特征的描述。相同的是这两种不同形式的概念学习都需要学生进行积极的有意义的学习活动。所以，概念的形成往往与人类自发形成的概念相近，它适用于低年级学生。就学习内容而言，尤其适用于几何知识的学习。原始概念和一些层次较低的概念，一般采用概念形成的方式，就是凭借事物的具体形象和表象进行抽象。概念的同化则是具有一定心理水平的学生学习概念的方式，比较适合中高年级.对于发展性概念，一般采用同化的形式，因为随着学生年龄的增长，认知结构中的知识不断积累，智力不断发展，就应借助学生已有的概念去认识新的概念。在课堂教学条件下，概念同化就逐渐成为学生获得新概念的主要方式。在引入概念时，要充分复习学生的已有知识，使新概念在已有的概念中精确深化，产生新的认识，即在旧概念的基础上引入新概念。

3.针对概念的两种形式灵活采用不同的教学方法

对不同形式的概念的教学，可以采用不同的教学方法。概念教学主要是要完成概念的形成和概念的同化这两个环节。新知识的概念是学生初次接触或较难理解的，所以在教学时应先列举大量具体的例子，从学生实际经验的肯定例证中，归纳出这一类事物的特征，并与已有的概念加以区别和联系，形成对这一特性的一种陈述性的定义，这就是形成一种概念的过程。在这一过程中同时要做到与学生认知结构中原有概念相互联系、作用，从而领会新概念的本质属性，获得新概念，这就是概念的同化。在进行数学概念教学时，最能有效促进学生创新能力的是对实例的归纳及辨析。通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，完成概念形成的两个步骤。依据数学概念的两种形式，可尝试设计概念教学的两种模式。

第一种模式：问题情境（抽象）—新概念分析（内涵、外延、正（反）例）—应用—反馈。其具实施步骤是：①构建问题情境，创设心理环境。针对新概念构建相应的问题情境，隐含新概念所描述事物的本质，观察、认识到提出新概念的必需和合理，以形成合理心情，积极、大胆地进行思维；②考察本质属性，抽象形成概念。分析问题情境，概括出它所反映事物的共同属性，由此逐步抽象而提出新概念；③设计多向分析，深化概念理解。对新概念可从揭示内涵、外延、定义方式、合理性（和谐性）、正反例证等方面分析；④及时测试反馈（应用），评价思维训练。这种模式一般适用于概念的形成，是一种发现学习的过程。

第二种模式：已有概念（类比、迁移）—新概念—比较（共性、异性）—创造（形成新概念体系）—应用—反馈。其实施步骤为：①精选已有概念，设置问题情境。数学概念体系的形成过程具有一定的层次性，如方程经历了一元一次方程——二元一次方程——一元二次方程——高次方程——整式方程——分式方程——有理方程——无理方程。教学中应选择最近的源概念，通过升维、加权、反向思考等设置；②拟定类比方案，迁移形成概念。考查概念情境的变化，拟定提出新概念的类比方案（概念诱发、类比途径、类比可能的结果、验证并完善）；③重比较促创造，强化概念理解。对类比、迁移提出的新概念，需与问题情境中的已知概念比较，弄清与原概念的共性、与已经知概念的异性；④及时测试反馈，评价思维训练。这种模式一般适用于概念的同化，是一种接受学习的过程。

在平时概念教学中，教师只有对概念进行全面理解与合理把握，不断探索新模式，做到目标明确、方法正确，才能使学生掌握好数学概念。

(作者单位:江苏省泰兴市黄桥初级中学)

责任编辑 王爱民