电力电缆载流量计算的研究与发展

郑雁翎，王 宁，李洪杰，张冠军

(1.西安交通大学电气工程学院电力设备电气绝缘国家重点实验室，陕西西安710049;2.宝鸡文理学院电子电气工程系，陕西宝鸡721007)

0 引言

电力电缆在运行过程中，由于线芯电流引起绝缘层、金属屏蔽层和铠装层损耗发热，使电缆各部分的工作温度升高，电缆在过高温度下工作，将会导致绝缘材料加速老化，缩短了电缆的寿命。根据运行中的经验，规定了电缆所允许的长期和短期最高工作温度。由此电缆的载流量实际可分为三种:

(1)长期运行持续额定电流(Continuous current rating，对交联聚乙烯(XLPE)绝缘电缆，其载流量对应于电缆线芯温度达90°C时的稳态工作电流);

(2)瞬时短路电流(Momentary short-circuit current，XLPE绝缘电缆短路时允许最高工作温度达250°C，最常持续时间不超过 5 s［1］);

(3)短时允许过载电流(Short-time thermal rating，XLPE绝缘电缆超载时允许的最高工作温度达130°C，时限100 h，不得超过5 次［2］)。

电力电缆的载流量是电缆运行中受环境条件和负荷影响的重要动态参数，其重要性涉及到输电线路的安全可靠、经济合理的运行以及电缆寿命问题。电缆的载流量偏大，会造成缆芯工作温度超过允许值，绝缘的寿命就会比预期值缩短;载流量偏小，则电缆芯铜材或铝材就不能得到充分的利用，导致不必要的浪费［3，4］。

电力电缆载流量的确定是一个困难和繁琐的问题，特别是对于运行条件复杂的场合，如大量的直埋敷设及排管敷设的情况。随着城市的发展，这些敷设方式的应用越来越广泛，且电缆敷设的密集程度也越来越高，运行的环境也变得更加复杂。目前，电力电缆载流量的确定有解析计算、数值计算和试验等三种方法，而试验的方法往往存在成本大、周期长、通用性差等问题。本文对电缆载流量计算方法的发展过程进行了较为系统的综述。

1 电力电缆载流量的解析计算

解析计算主要是基于IEC标准和NM理论，适用于简单电缆系统和边界条件，具有载流量直接计算的优点。

1.1 IEC标准

国际电工委员会(IEC)标准在1957年在McGrath论文的基础上，结合1957年之后载流量的算法改进，于1982年提出了电缆额定载流量(100%负荷因数)计算标准IEC 60287(国内相对应的标准是JB/T 10181—2000)，1985年提出电缆暂态载流量计算标准IEC 60853。标准中给出的载流量计算方法与NM方法在原理上相似，它不仅包括了NM方法的全部计算公式，而且对不同电缆类型及敷设条件的载流量计算加以区分，将单芯电缆中的环流和涡流损耗计算扩展到有钢带的两芯和三芯电缆，并且添加了大截面分割导体电缆的涡流损耗计算(这点在NM方法中被忽略)，可以说它比NM的内容更全面。从形式上看，两者的计算公式似乎完全不同，这是因为两者所用的长度单位不同，NM方法的单位是英制单位(英寸)，而IEC标准中的单位是公制单位(米)，实质上是一致的。IEC 60287经逐年的修正补充后已趋于完善。

新版IEC 60287在适应电缆多样化使用方面仍不足，虽然根据标准中的公式可以很方便计算载流量，但部分算法又过于繁琐，计算结果也偏于保守。

目前各国电缆产品及其载流量大都已向IEC靠拢。国际上发达国家以及国际贸易都以IEC 60287标准作为制订电缆产品额定载流量依据。

我国电缆载流量方面的研究始于20世纪60年代中期。随着我国电工产品向IEC靠拢，电线电缆产品国家标准已基本等同IEC相应的标准，电缆载流量计算标准亦等同IEC的相应计算标准。我国尚未有对应于IEC 60853的国内标准。

各国对电缆运行条件参量的期望值存有很大差别，IEC标准提倡从不同的角度出发，各个国家规定相应的值。特别是土壤热阻系数，对土壤的含水量非常敏感，随时间可能有明显的变化，取决于土壤的类型、地势、气象条件和电缆负荷。对于特殊结构电缆或特殊敷设条件下仍提倡试验解决，一些未解决的问题正在进一步考虑之中。

1.2 NM理论

关于电缆载流量计算的研究最早开始于19世纪后期和20世纪初期，计算方法非常粗略和简单。随后Neher和McGrath进行了进一步的研究，并在1957年提出了关于电缆载流量及其温升的计算方法［5］，后来被称为NM方法。Neher和McGrath的工作基于以下几种假设:(1)大地表面为等温面;(2)电缆表面为等温面;(3)电缆及其周围土壤的热阻率不变;(4)叠加原理适用。他们首次较完整地研究了不同类型电缆的几何参数和安装条件对导体温度的影响，分析了电缆导体到周围环境中的温度分布和电缆的散热情况，并通过简化的热路模型计算出不同敷设条件下的载流量。

当电流通过电缆导体时，导体电阻产生损耗从而引起导体的温升。所产生的热能，一部分贮存在导线及绝缘材料内，其余的热能以传导形式经绝缘材料传递给电线或电缆的表面，然后通过对流及辐射传递给周围环境。导线与绝缘介质之间、绝缘介质与周围环境之间存在热阻，即为热能的传递途径，如图1所示。

图1 电缆的简化热路模型

NM方法需要明确电缆的几何参数和敷设条件，建立热路模型，从而计算热路中串联的各个热阻，然后各热阻值相加，得到电缆导体到周围环境的总热阻值，最后利用导体的电流与导体到电缆周围环境温升之间的函数关系计算出导体的电流。计算公式如下［5］:

或

式中，I为导体电流(kA);Rac为导体交流电阻(μΩ/ft);为电缆导体到周围环境的总热阻(℃·ft/W);Tc为导体温度;Ta为电缆周围的环境温度(注:1 ft=0.304 8 m)。

NM方法作为一种比较简单、完整的电缆载流量计算方法被普遍接受，他们的研究工作是IEC 60287 的基础［6］。

1.2.1 NM算法的不足

Neher-McGrath所做的假设限制了NM算法的精确性。

(1)在NM方法中，认为土壤的热阻仅与地下多根电缆敷设的几何参数有关，且每根电缆的发热量相同，从而简化了计算模型，这将导致NM方法计算出的载流量值偏小。

(2)假设电缆槽的矩形表面和电缆表面是等温面，但随着季节变化地下电缆的实际温度分布并非如此。这些约束使NM方法计算载流量存在缺陷。

(3)认为土壤的热阻率值是不变的，没有考虑电缆散热对土壤的影响，但是如果在电缆传热的影响下，尤其是因土壤的水分迁移而引起土壤干燥，其热阻系数会发生很大变化，从而影响电缆载流量。

图2 不同位置电缆温度示意图

1.2.2 NM方法算法的改进

NM方法是电缆载流量计算的基本方法，在上世纪80年代以前，大量的电缆载流量试验和分析都是基于NM方法的。随着各学科技术和工业技术的发展，电缆的敷设环境和相应的计算模型越来越复杂，NM方法的不足表现得更加明显，载流量的计算成为研究者更为关注的问题。为了提高载流量计算的精确性和拓展其适用性，对NM方法中的参数和模型不断地进行修正以及算法改进。Sellers和Black在1996年从以下三个方面改进［8］:(1)考虑到不同负荷电缆的散热量不等，修正热影响参数，以此提高了载流量计算的精确度;(2)改进管道和沟道中电缆周围流体层热阻的算法，具有现实意义;(3)修正混凝土加固电缆槽形体的边界热阻的表达式，更加准确计算电缆的载流量。

1.3 现有计算中存在的问题

NM理论、IEC 60287和IEC 60853都是建立在解析和经验的基础上，而实际敷设情况是千变万化的，这就造成了NM理论、IEC 60287和IEC 60853在很多场合下的局限性。

(1)IEC 60287仅给出了单回路电缆的邻近效应计算公式，而实际常常多个回路以集群方式敷设在一起，而回路间的电磁感应对电缆导体邻近效应的影响、对金属套内涡流损耗及环流损耗的影响等都不能忽略。

(2)IEC标准是在给定电缆导体和金属套温度的基础上确定两者的电阻率，然后计算损耗，而实际中不同位置电缆的导体和金属套温度往往不同(如图3所示［18］)，导致电阻率不同、损耗不同，反过来又造成电缆的导体和金属套温度的不同，即温度场计算实际上是一个电磁场和热场的耦合计算问题。

(3)IEC标准中对电缆间热效应的相互影响是建立在NM理论假设的基础上，利用镜像法进行计算。实际上地表不是等温面，电缆表面也不是等温面(如图2所示);地下深层温度保持在一个恒定的温度;电缆周围往往有回填土，并非敷设于单一介质中［19-23］。因此，电缆集群方式敷设时电缆间热效应的相互影响不能按半无限大平面场利用镜像法进行叠加计算。

(4)对于水分迁移的影响，IEC标准中以电缆外表面温度是否超过50°C作为考虑土壤水分迁移的分界线。实际中在电缆附近的土壤呈现干燥状态，而随着远离电缆逐渐变为自然土壤［24-26］。如果整个土壤按干燥考虑，载流量势必偏小。

(5)对于排管敷设、隧道敷设、沟槽敷设等方式，标准中给定的是根据经验总结的计算公式，而实际中存在空气自然对流、热辐射和热传导等三种导热方式的耦合，涉及到流体力学、传热学等相关知识，需要耦合求解动量方程、能量方程和连续性方程来计算，简单的经验公式往往存在较大的误差。

(6)对于电缆附近有外部热源(如热力管道)或局部穿过不利于热扩散区域等敷设情况下，标准中没有给定相应的计算公式。

(7)电力部门需要动态调整负荷，而这需要实时了解线路周围的相关环境参数和导体温度，并据此确定载流量。标准中给定方法对此无能为力。

2 电缆载流量的数值计算

有限元法、边界元法、有限差分法和优先容积法等，是目前电缆温度场的主要数值计算方法。下面分别对几种数值计算方法进行简单介绍。

2.1 有限元法

有限元法(FEM)在原理上是有限差分法和变分法中里兹法的结合。它对表示物理场的微分方程的变分问题作离散化处理，将场域划分为有限小的单元，并使复杂的边界分段属于不同的单元，然后将整个场域上泛函的积分式展开成各单元上泛函积分式的总和。其中每个单元的顶点就是未知函数的取样点，它类似于差分法中的节点。各单元内试验函数采用统一的函数形式(如多项式等)，其待定系数取决于本单元各项点上的函数取样值。泛函极小值的条件是泛函对试验函数中各待定系数的偏导数等于零，据此列出差分近似的代数方程组，并直接计算结点函数值的数值解，再确定试验函数以表示各单元内函数的近似解。

1973年Flatabo通过有限元的方法计算地下电缆热暂态运行(热暂态指电缆运行中温度随时间变化的动态情况)的问题。暂态导热方程如下［10］:

式中，温度T为x、y和t的函数;k为导热系数;q为单位体积内的能量转换速率(产热率);C为热容系数。

通过构造暂态导热方程的泛函:

采用泛函的变分计算，将变分问题转化为多元函数求极值的问题，取得近似解代替微分方程的求解。

1985年EL-Kady采用有限元法求解电缆管道外部(水泥槽和土壤之间)的热阻［7］。对所求的边界区域进行离散，建立离散方程，然后求解方程。他认识到了温度梯度造成的水分迁移以及水分含量对土壤导热系数的影响，但计算中仍忽略了水分迁移的影响，而且这些计算只应用于有限的条件。此后，Anders等人进一步利用有限元法对电缆的载流量进行了计算。

近年来国内梁永春、孟凡风［16，17］等人根据地表对流和深层土壤温度不变的原则，建立了如图3的电缆群温度场模型［16］。将地下电缆群开域温度场等效为闭域温度场，利用有限元法分析了给定电缆负荷电流的地下电缆群闭域温度场分布，采用弦截法计算地下电缆群载流量，但仅考虑地下电缆群的温度场为稳态温度场，电缆群为等负荷、等截面。

图3 单回路土壤直埋电缆温度场模型

上述方法中，有限元法适合处理复杂的边界条件，对于分析复杂电缆群的温度场和计算载流量是一种有效的方法。

2.2 边界元法

边界元法(BEM)与有限差分法相反，其所选择的函数满足区域内的支配方程，而后用这些函数去逼近边界条件。边界元法的优点在于考虑计算区域的边界，由于积分是在边界上进行的，采用此法可将三维的问题简化为二维问题、二维的问题化为一维问题来处理，使其数值计算较为简单。此外，由于此法是直接建立在基本微分方程和边界条件基础上，不需要事先寻求任何泛函，适当变换后，还能解决随时间变化的物理场问题。

1988年Gela采用边界元法来解地下电缆温度场［11］，而不是计算区域的内部，这就使计算量从三维简化为二维。而且内部区域不需要划分网格，计算量明显低于区域型的计算方法，如有限元法或有限差分法。边界元法在无穷远处截断区域作为边界，不需像有限元或有限差分法那样布置一个人为的边界，认为这个边界上的温度等于环境温度。但是当处理一个具有多层土壤的实际电缆沟问题或具有多根电缆敷设的问题时，边界元法的边界太多太复杂，计算量变得特别大。

2.3 有限差分法

在物理场数值分析的计算方法中，有限差分法(FDM)是应用最早的一种。直到今天，它仍以其简单、直观的特点而被广泛应用。有限差分法以差分原理为基础，它实质上是将物理场连续场域的问题变化为离散系统的问题求解，也就是通过网格状离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域的真实解。在有限差分法中，在区域内根据位置来改变网格的步长是很费时的，而且在接近曲线边界时，边界就不可能与节点相一致，由此引起的误差不能忽视。因此，有限差分法很难表示复杂的边界条件，不易处理复杂问题。

1993年Hanna采用有限差分法来计算电缆沟中电缆的散热情况［12，13］。其数学模型为将整个土壤区域分为自然土区域(mother soil)、回填土区域(backfill)和填充土区域(trench filling)，不同的区域导热系数不同。

地面和大气层之间存在导热和对流传热。导热算式由傅立叶公式确定，对流传热算式由牛顿公式确定。方程对于整个区域的每个特殊点均单独列出其热平衡表达式，以供编程时使用。计算中将电缆的表面看作等温体，当给定载流量时，可以确定电缆的表面温度;当给定电缆表面允许温度时，可以确定电缆的载流量。Hanna很详尽地对电缆沟形式的计算进行了叙述，但其程序不考虑电缆内部的结构，即假定各种类型、各种截面大小的电缆具有相同的载流量。

2003年王增强［3，14］等人采用有限差分法和坐标组合法相结合的方法，对土壤区域、电缆区域分别进行计算，最终确定电缆允许的载流量。虽然此方法考虑了土壤的水分迁移，也实测了不同土壤在各种条件下的导热系数，但由于预埋管方式的载流量影响因素较复杂，且各层导热系数不易确定，所以计算存在误差，缆芯载流量值不是特别准确。

2.4 有限容积法

有限容积法将计算区域划分为一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点做代表。通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程。在导出过程中，需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成做出假定，这种构成的方式就是有限容积法中的离散方式。

有限容积法适于流体计算，可以应用于不规则网格，适于并行，但是精度基本上只能是二阶。

3 解析算法和数值算法的比较

目前，基于IEC标准的解析计算，其优点是可以用简单的公式即可近似计算电缆的载流量。但解析法仅能解决一些几何上相对简单的问题。如在载流量计算中，公式中的土壤的热传导率和热容设为常数，并假设大地表面为等温面，导体的电阻率为常数。

数值计算的方法是在给定电缆敷设、排列条件和负荷条件下对整个温度场域进行分析，大地表面和电缆表面的温度都是待求量，更加接近实际边界条件。因此，数值方法更适合几何、物理上比较复杂的问题，在分析复杂电缆系统中有很大的灵活性，计算的结果也比解析算法更准确。

在实际应用中，解析算法的应用要比数值算法普遍，其原因:(1)在NM模型和IEC 60287标准的基础上，进行电缆载流量解析计算已沿用已久;(2)对于具有简单结构和敷设的电缆系统而言，用数值计算反而更繁琐。考虑到实际电缆的结构和材料，单芯电缆的等效热路模型如图4所示［4］。

图4 单芯电缆的等效热路模型

图中，θ为导电线芯温度;θ0为电缆表面温度;W为导电线芯电阻损耗;Wd为绝缘介质损耗;λ1W为金属护套(和屏蔽层)电阻损耗;λ2W为铠装层电阻损耗;λ1为金属套(和屏蔽层)损耗系数;λ2为铠装层的损耗系数;T1、T2、T3分别为绝缘、内垫衬层、外护层的热阻;T4为电缆和周围媒质的热阻。

根据图4等效热路模型可以建立电缆的载流量计算公式:

由上述的计算公式也可推广到多芯电缆。采用上式计算电缆载流能力时，需要确定环境温度、土壤的热阻系数和热容系数，若将这些参数简单考虑为常数，对于环境温差比较大的地区会产生较大的计算误差。

4 结论与展望

本文综述了国内外对电力电缆载流量基本计算方法的研究，但这些方法都没有给出一种系统的、完整的方法，以解决载流量计算中存在的问题。

目前随着电力电缆线路越来越趋向于密集敷设、电缆线路实际情况复杂多变、环境和运行条件的差异、热阻系数、热源分布等等诸多因素不易确定、以及载流量修正系数更是一个十分复杂的问题，研究载流量的合理计算是很有必要的。

当电缆本体确定后，载流量将取决于环境条件。建议在上述方法研究的基础上，针对具体的实际问题，进行以下几个方面的后续研究:针对不同敷设和负荷条件，实时监测土壤中水分的迁移现象，动态测量土壤的热阻系数，实现载流量的实时非线性数值计算;针对电缆群密集敷设、交叉敷设的情况，实现电缆位置、相位等的自动优化计算，最大限度地提高电缆群的载流能力;针对电磁场和温度场的有限元模型进行研究，实现两者的直接耦合计算，同时引入智能算法，实现温度场计算基础上的载流量预测;此外需要制定一个符合我国国情的基准环境条件(环境温度、土壤热阻系数、空气自然对流、敷设方式及周围环境状况等)，并确定具有代表性的数据作为基准条件下的计算参数数值。

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