一种对称损失下Rayleigh分布参数倒数的Bayes估计

李权权

(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平136000)

1 引言

Rayleigh分布R(σ)是一类重要的寿命分布，它是威布尔分布W(μ,α,β)的重要成员.Rayleigh分布的密度函数是f(x,σ)=2xσe-x2σ，σ>0.

定义1 设随机变量，如果X1,X2,…,Xn为容量为n的随机样本，则x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的实现值.

令θ=1σ，则有f(x1,x2,…,xn|θ)=

(2θ)n∏ni=1xie-θ∑ni=1x2i.在对称损失函数[1]

L(θ,δ)=(θδ-δθ)2=θδ+δθ-2

(1)

意义下考虑参数θ的估计，其中δ是θ的判决空间中的一个估计，这个损失函数L(θ,δ)关于δ是严格凸函数，并且在δ=θ处取得唯一的最小值.

2 可靠度θ的Bayes估计

对任意先验分布，θ的Bayes估计δB(x)=[E(θ-1|x)(E(θ|x)]12由下面定理得到.

定理1 在损失函数(1)下，对于任何先验分布，θ的Bayes估计为

δB(x)=[E(θ-1|x)(E(θ|x)]12

(2)

这里的x=(x1,x2,…,xn),若δB(x)的Bayes风险有限，则它还是唯一的Bayes估计.

证明L(θ,δ)=θδ+δθ-2，令δ(x)为θ任一估计，其Bayes风险为

R(θ,δ)=E(L(θ,δ))=E[E(θδ+δθ-2)].

上式的左端表示关于θ的联合分布取期望，欲使R(θ,δ)达到最小，只须后验风险达到最小,由于

E(θδ+δθ-2)=
1δE(θ|x)+δE(θ-1|x)-2.

(3)

对(3)式关于δ求导并令其为0，解得

δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12.

由h(δ)的自身性质可知，δ=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12是唯一最小值点，从而得到δ的Bayes解为

δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12.

考虑在给定先验分布π(θ)后，参数θ的Bayes估计的精确形式.

设参数θ服从Γ分布Γ(α,λ),密度函数为

f(θ∶α,λ)=λαΓ(α)(1θ)α+1e-λθ.

下面以定理的形式给出θ的精确Bayes估计.

定理2θ的先验分布Γ(α,λ)取在损失函数(1)下，其分布参数θ的Bayes估计为

δB(X)=[(α+n)(α+n+1)/
(λ+∑ni=1x2i)2]-12

(4)

证明θ的后验密度

π(θ|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
θn+α+1·e-θ(λ+∑ni=1x2i)∝θn+α+1e-θ(λ+∑ni=1x2i)

(5)

可见后验分布服从Γ(n+α,λ+∑ni=1x2i)从而有

π(θ-1|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
((λ+∑ni=1x2i)n+α-1/Γ(n+α-1))
π(θ|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
((λ+∑ni=1x2i)n+α+1/Γ(n+α+1))

由后验分布通过(2)式求得δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12=

[(α+n)(α+n+1)/(λ+∑ni=1x2i)2]-12.

引理1[3]在给定的Bayes决策问题中，假如对给定的先验分布π(θ)，θ的Bayes估计是唯一的，则它是容许估计.

由于对称损失函数(1)是严格凸函数，其Bayes估计必是唯一的，由引理1可知，Bayes估计δB(x)亦是可容许估计.

由后验分布(5),就可求得θ的置信水平为1-α的Bayes置信下限.

定理3 对于Rayleigh分布，给定Γ(α,λ)先验分布和对称损失函数(1)下,θ的置信水平1-α的Bayes置信下限为θ，θ满足如下表达式α=Iθ(λ+∑ni=1x2i,α+n)其中Ix(a,b)=∫x0aΓ(b)θb-1e-αθdθ.

证明θ的置信水平1-α的Bayes置信下限为θ满足1-α=∫∞θπ(θ|x)dθ=1-

∫θ0(λ+∑ni=1x2i)n+αΓ(α+n)θθ+n-1e-θ(λ+θ∑ni=1x2i)dθ=1-Iθ(λ+

∑ni=1x2i,α+n),α=Iθ(λ+∑ni=1x2i,α+n).

3 可靠度θ的多层Bayes估计

由定理2给出θ的Bayes估计δB(x)中仍然含有超参数α,λ，若无历史数据，α,λ仍是未知的.可以把超参数α,λ看成随机变量，选择合适的先验分布，求出θ的多层Bayes估计.

对Rayleigh分布，取θ的先验分布为Γ(α,λ)，密度函数为

f(θ∶α,λ)=λαΓ(α)(1θ)α+1e-λθ

(6)

其中α>0,λ>0为两个未知的超参数，并设其相互独立,利用减函数法构造超参数α,λ的先验分布[4]，取α,λ的超先验分布密度分别为如下的均匀分布：

π2(α)=U(0,1),π2(λ)=U(0,c)

(7)

其中c为常数对这样的两层先验分布，θ的两层Bayes估计由以下定理4给出.

定理4 对于Rayleigh分布，给定上述两层先验分布和对称损失函数(1)下，θ的两层Bayes估计为

δB(x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α+1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ.

证明由(6)，(7)可得θ的先验分布为

π(θ)=∫c0∫10π1(θ|α,λ)π2(α)π2(λ)dϑ=

1c∫c0∫10λαθα-1e-λθΓ(α)dα.

从而得θ的后验分布为

π(θ|x)=π(θ)f(θ|x)∫∞0π(x)f(θ|x)dθ=

∫c0∫10(λαθn+α-1e-θ(λ+∑ni=1x2i)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+

α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α)) dαdλ

进一步可求得π(θ-1|x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α))dαdλ.

π(θ|x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α+11)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α))dαdλ.

所以δB(x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α+1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α+1)/Γ(α))dαdλ.

参考文献：

[1]王亚芬,对称损失下二项分布的Bayes估计[D].长春:吉林大学,2002.

[2]韦博成.参数统计教程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]茆诗松,王静龙,濮小龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]韩明.多层先验分布的构造及其应用[J].运筹学与管理,1997,6(3):31-40.