矩阵实C-特征值的计算

张桂颖，于 涛

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

1 引言

矩阵的C-特征值在许多现代随机过程计算及应用二阶线性偏微分方程解某些物理问题的计算中有着重要的应用.本文中记λc(A)为A的全体C-特征值集，λ(A)为A的全体特征值集.我们知道若λ∈λc(A)，且λ∈R则对∀θ∈R，eiθλ∈λc(A)[1]，因而我们研究矩阵的C-特征值只需研究λc(A)中的全体非负实C-特征值.但是计算矩阵的实C-特征值也并非易事，文中将计算复矩阵的实C-特征值问题转化为计算实矩阵的特征值问题.

2 主要结论

定义1[2]设A=(aij)∈Cn×n是给定的矩阵，如果对某λ∈C及x=(xi)∈Cn{0}，使A=λx，则称λ为A的C-特征值，x为相应的C-特征向量.

定理1A∈Cn×n,且λ≥0是给定的,则

λ∈λc(A)⟺λ∈λ(A).

证明 必要性λ≥0,λ∈λc(A),存在x∈Cn{0},A=λx,从而

Ax=A(λ)=λ(A)=λx

即λ∈λ(A).

充分性λ∈λ(A),存在x∈Cn{0},Ax=λx,

若A与x线性相关,则存在μ∈C使得A=μx,即μ∈λc(A),而

λx=Ax=A(μx)=|μ|2x

说明|μ|=λ,有|μ|=λ∈λc(A).

若A与x线性无关,则取y=A+λx,y必非零,

A=Ax+λA=

λx+λ(A)=λy,λ∈λc(A).

定理2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,则

λ∈λc(A)⟺1∈λ()

λrAi-λiAr-λrAr-λiAi).

证明 必要性λ∈λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展开可得

{Aru+Aiv=λru-λiv
Aiu-Arv=λiu+λrv

(1)

即

(u
v)=
1λ2r+λ2i(λr(Aru+Aiv)+λi(Aiu-Arv)
λr(Aiu-Arv)+λi(-Aru-Aiv))=
1λ2r+λ2i(λ2ru+λ2iu
λ2rv+λ2iv)=(u
v)

所以有1∈λ().

充分性 1)若λr=0则λi≠0,此时=1λi(Ai-Ar

-Ar-Ai),设X+iY∈C2n{0}满足(X+iY)=X+iY,则X=X,Y=Y,故只须取X∈R2n{0},使X=X,X=(u

v),代入即可推出(1)式,设x=u+iv则有A=iλix=λx.

2)若λr≠0,且1∈λ(),则X=X,X=(u

v)≠0,将(u

v)=(u

v)左乘(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)，可得

(ArAi

Ai-λiλrAr-Ar-λiλrAi)(u

v)=

(λrI-λiI

0λ2r+λ2iλrI)(u

v)，

再左乘(I0

λiλrII)可得

(ArAi
Ai-Ar)(u
v)=(λrI-λiIλiIλrI
λiIλrI)(u
v)

即可推出(1)式,设x=u+iv则有A=λx.

推论1A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,则

0≠λ∈R∩λc(A)⟺λr∈λ(1),λ∈R

Ai-Ar).

证明 必要性λ∈R∩λc(A),即存在x=u+iv∈Cn{0}，u，v∈Rn，使A=λx,展开可得

{Aru+Aiv=λru
Aiu-Arv=λiu

(2)

v)=λr(u

v)，所以λr∈λ(1).

v)=λr(u

v)，将1代入展开即为(2)式，又λ=λr，故A=λrx=λx.

推论2A=Ar+iAi∈Cn×n,Ar,Ai∈Rn×n,λ=λr+iλi∈C{0},λr,λi∈R,则

0≠λ=iλi∈λc(A)⟺λi∈λ(2),λ∈C

-Ar-Ai).

证明 仿推论1的证明即可.

由此得到了简单复矩阵的实C-特征值与普通矩阵的特征值的关系,实质上也是给出了计算复矩阵实C-特征值的方法.

3 举例应用

例1 计算矩阵A=(1+i-1

i0)的实C-特征值.

解法1A=(1+i-1

i0)(1-i-1

-i0)=(2+i-1-i

i+1-i),det(λI-A)=(λ-1)2,λ=1(二重),由定理1有1∈λc(A),再由[1]有-1∈λc(A),从而A实C-特征值为±1.

解法2A=(1-1

00)+i(10

0010

10-11

1000)，det(λI-1)=(λ-1)2(λ+1)2，λ=±1(各二重)，由推论1,A实C-特征值为±1.

由此例题可以看出方法二比方法一计算简便些，而且结果直接.在解题过程中可以直接应用方法二.矩阵的C-特征值与特征值有本质区别,一个矩阵可能存在C-特征值,还可能根本就不存在C-特征值,将复矩阵的C-特征值存在的判定及计算转化为普通矩阵的特征值问题是解决矩阵C-特征值问题的最好办法.

参考文献：

[1]杨奇.矩阵分析[M].北京:机械工业出版社,2005.

[2]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1985.

[3]Roger A.Horn and Charles R.Johnson.Topic in Matrix Analysis[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[4]逄明贤.矩阵谱论[M].长春:吉林大学出版社,1989.