非线性系统的多项式近似表示及电力系统应用（Ⅰ）——理论篇

孙玉娇， 刘锋， 梅生伟

（清华大学电机系电力系统国家重点实验室，北京 100084）

0 引言

电力系统是典型的包含有周期性函数的高维非线性系统，其平衡点的求解在电力系统暂态稳定分析中占有重要地位。虽然目前已有多种方法［1－9］可以有效求解出一些具有特殊形式的（如电力系统的经典模型等）系统的不稳定平衡点（UEP）或主导不稳定平衡点（CUEP），但一般性的平衡点求解问题在电力系统暂态稳定分析中还是一个开放性问题。根据暂态稳定域边界理论［10］，暂态稳定域边界由稳定域边界上UEP（一定条件下为1型UEP）的稳定流形的并集组成。通常，电力系统暂态稳定分析中主要关注稳定域边界上UEP的求解。目前已有的UEP求解方法还难以获知稳定域边界上的UEP个数及分布情况。这对于获取给定系统的稳定域边界的整体结构及稳定域边界求解造成了困难。

本文提出利用多项式近似系统研究电力系统平衡点求取及稳定域边界近似的方法。这一方法的出发点源于多项式系统相对于一般非线性系统在平衡点求解上具有的优势，它包括:1）基于代数几何理论可对多项式系统的实根个数进行估计［11－12］;2）采用适当的同伦方法可求得多项式系统的全部实根［13－16］。

采用本文所提方法首先要面临的问题是对一个高维非线性系统如何计算它的多项式近似表达。半张量积方法为我国著名控制学家程代展教授提出［17］，其本质是多线性映射的矩阵表达，它对多项式系统的表达与操作非常方便且易于计算机自动实现，因此，我们采用半张量积方法实现非线性系统多项式近似的自动求取。

其次采用本文所提方法需要面临的问题是能否用多项式近似系统来研究原系统的平衡点并进行稳定性分析。对此，本文从理论上证明，当近似精度足够时近似系统与原系统平衡点可以任意接近且其相对应的不稳定平衡点类型可以保持不变，这就为利用多项式近似系统研究原系统的平衡点及稳定域边界近似奠定了理论基础。

本文在所给的理论基础上，将半张量积方法用于电力系统暂态稳定性分析，有可能实现电力系统暂态稳定性分析的“机械化”。这正是本文工作的最终目标所在，尽管目前的工作仍很初步，但它却为电力系统暂态稳定分析方法提供了一个可能的方向。

1 半张量积方法简介

半张量积方法［17］的本质是多线性映射的矩阵表达，它能够实现维数不匹配矩阵的乘法运算，并且该矩阵乘法在一定条件下具有交换性，这两个优点对于高维矩阵的运算是非常好的性质，它大大简化了高维系统的近似表达式的计算复杂性，使得一般高维系统的多项式近似计算成为可能。以下简要介绍左半张量积方法（右半张量积类似）。

1.1 左半张量积

1.2 多元多项式的半张量积表示

1.3 函数矩阵的微分

1.4 Taylor级数的半张量积表示

2 非线性系统及其多项式近似系统

2.1 非线性系统的多项式近似表示

考虑如下一般非线性系统

若f:Rm→Rm是一个解析映射，则根据半张量积方法，可对该非线性系统模型作n阶Taylor展开，得到多项式近似系统如下

式中:x0表示展开点;Dkf（x）表示f（x）在x0处的k阶偏微分;S0表示系统（3）Taylor级数的收敛域。

2.2 基本假设

设非线性系统（3）中f:Rm→Rm为解析函数，首先给出如下两个假设

假设1 设闭集S是f（x）的Taylor级数的收敛域的闭子集，即S⊂S0;再令Ωz为系统（3）的平衡点的集合，即 Ωz:={x|f（x）=0，x∈Rm}，则 Ωz∈S。

满足假设1的条件下，f（x）在平衡点x*∈Ωz处的Taylor展开在S中是收敛的。此时，f（x）在稳定平衡点xsep处的n阶Taylor展开为

此外，满足假设1时，Taylor展开式（5）的各阶系数均一致有界。在高维条件下，即存在M＞0，对任意k=1，2，…，有‖Dkf（x）‖∞≤M，其中‖·‖∞表示无穷范数，以下简写为‖·‖。

对式（5），分别令

称pn（x，xsep）为f（x）在 xsep处的n阶 Taylor展开近似，称 rn+1（x，xsep）为 f（x）在 xsep处的n阶 Taylor展开近似的Lagrangian余项。则f（x）可表示为

假设2 对∀x∈S，有det（Df（x））≠0。

假设2的条件要求，对∀x∈S，系统（3）的雅克比矩阵保持非奇异。通常情况下，由于系统（3）的雅克比矩阵的奇异点构成的集合在定义域内测度为零，因此该条件一般可以满足。

2.3 基本引理

3 多项式近似系统与原系统平衡点的距离

利用多项式近似系统研究原系统，首先要研究二者之间平衡点的关系。下面从理论上证明近似系统平衡点与原系统平衡点可以任意接近，对此，我们给出如下定理。

定理1 考虑系统（3）满足假设1、2，x*为系统的一个孤立平衡点，是系统（3）在稳定平衡点xsep处的多项式近似系统˙x=pn（x，xsep）的孤立平衡点，xsep，x*，xsep∈int（S）。则对∀ε＞0，∃N∈Z+以及，使得n＞N时，有‖xn*－x*‖＜ ε。

定理1表明，在满足假设1、2的条件下，只要多项式近似的阶数足够高，在原系统孤立平衡点附近必然会出现一个近似系统的平衡点，进一步，随着近似阶数的增高，该平衡点会越来越趋近于原系统的平衡点，因此可以用近似系统˙x=pn（x，xsep）的平衡点来逼近原系统˙x=f（x）的孤立平衡点x*。

此外，从定理的证明过程可以看出，假设2仅仅是定理1成立的一个充分条件，事实上并不需要S上所有的点都满足雅克比矩阵非奇异的要求，而只需要其中相关的某些点处满足，定理1即可成立。

4 多项式近似系统与原系统平衡点的类型

为了利用近似系统研究原系统，除了要保证近似系统与原系统平衡点任意接近外，还要保证二者之间性质一致。下面从理论上证明当近似阶数足够时，近似系统不稳定平衡点与原系统不稳定平衡点类型可保持一致，即不稳定平衡点拓扑性质不变。

首先给出如下一些引理。

引理3［16］对于一个多项式系统，可通过同伦路径法确定其全部实根。

引理 4［16］令 u=（x，λ），设构造的同伦路径为H（u），则该同伦轨迹由如下的初值问题确定，即

引理5［18］若两平衡点在相同的λ面，则两平衡点类型相差奇数;若两平衡点在不同的λ面，则两平衡点类型相差偶数。

引理6［16］若同伦路径中存在拐点，则该同伦路径两端的平衡点类型改变，且类型的改变值等于拐点个数。

引理7［11］若H'（x）在连接两个平衡点的整个同伦路径中非奇异，则该同伦路径中不存在拐点及分叉点，因而该同伦路径两端的平衡点类型一致。

根据引理3－引理7，我们有如下定理

定理2 对非线性系统（3），若假设1、2满足，设xuep为˙x=f（x）的一个孤立的双曲k型不稳定平衡点，其近似系统˙x=pn（x，xsep）相应的平衡点为xn-uep，则存在N∈Z+，当n＞N时，xn-uep也为双曲k型不稳定平衡点。

证明 构造同伦方程

可知，若从˙x=f（x）的某一不稳定平衡点xuep出发，跟踪同伦路径，当 λ从0变化至1时，H（x，λ）从=f（x）的不稳定平衡点xuep运动至=pn（x，xsep）的平衡点xn-uep，其中 xn-uep=xuep+Δx，Δx为近似系统平衡点xn-uep与原系统平衡点xuep之间的误差。

根据引理7可知，若整个同伦路径中，H'（x）=DH（x）保持非奇异，则该同伦路径中不存在拐点及分叉点，因此同伦路径两端的平衡点类型一致，即xn-uep与xuep类型一致。

由假设1知，对∀x∈S，Df（x）非奇异（即 det（Df（x））≠0），由Df（x）的连续性可知，若在Df（x）上施以足够小的扰动时，Df（x）仍保持非奇异，即

因此只需证明，当近似阶数足够高时，D（Δf）可以足够小即可。

由式（12）可知

即是要证明当近似阶数足够高时，‖Drn+1（x，xsep）‖可以足够小。根据引理2的证明过程可知，这一结论成立。当选取充分大的n时，我们总可以使得‖Drn+1（x，xsep）‖足够小，从而使得DH（x）=Df（x）－λDrn+1（x，xsep）在整个同伦路径中保持非奇异;因此，从xuep到xn-uep的整个同伦路径中不存在拐点及分叉点，从而保证同伦路径两端的平衡点类型一致，即xn-uep与xuep类型一致。证毕。

定理2从理论上保证了在一定条件下，当近似阶数足够高时，近似系统与原系统平衡点附近的拓扑性质可以保持一致。

通过以上定理，我们可以得出结论:当近似阶数足够高时，近似系统平衡点可以与原系统平衡点任意接近且类型保持一致，因此我们可以用多项式近似系统来研究原系统的平衡点及稳定域边界。

5 结论

利用半张量积方法求得一般非线性系统的多项式近似表达，并在理论上证明:当近似阶数足够高时，多项式近似系统与原系统平衡点可任意接近且类型保持一致，从而为利用多项式近似系统来研究原系统的平衡点及其稳定性提供了理论基础。本文提出的理论结果在电力系统稳定性分析中的一些初步应用工作将在下一篇论文中介绍。

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（编辑:张 静）