用静力简化方法计算地震作用下桥墩的弹塑性变形

王富君

(中铁第五勘察设计院集团有限公司,北京 102600)

1 能量守恒原则

利用能量守恒原则,就是对于一个具有完全弹塑性恢复力特性的单质点体系,在同一地震动的作用下,其不考虑塑性特征的弹性反应和考虑弹塑性特征的弹塑性反应所吸收的能量是基本一致的,如图1所示。

六个涂层试样以及无涂层的原始石墨片在1500 ℃空气中焙烧16 h后质量随时间变化如图5所示．从图5(a)可见：无涂层的原始石墨片在2.5 h后完全烧掉，1号～6号试样焙烧16 h后失重率W分别为69.45%，1.97%，-0.60%，46.06%，58.91%和0.58%；1号、4号和5号试样在烧后氧化失重明显，而2号、3号和6号试样在烧后失重不明显．进一步放大分析，从图5(b)可见，3号试样烧后没有氧化失重，相反略有增重，这说明3号试样抗高温氧化效果最好．

图1 弹性和弹塑性反应变形

利用弹性体系结构计算出的弹性力PE和对应位移δE,根据能量守恒的原则,即△OAB的面积与□OCDE的面积相等,计算出其弹塑性位移δP。

2 地震作用力计算

对于规则桥梁,地震动响应比较简单,桥梁结构特征值分析过程中,起决定作用的模态单一(在一个自由度方向上一般为一次模态),地震作用力可采用反应谱法。

2.1 振动单元

桥梁的振动特性与墩台的刚度,基础的特性以及支座条件有关。在计算地震力之前,需要根据整座桥梁的振动特性将地震动作用下不同的振动单元分割开,然后对每一个振动单元进行抗震分析。

纵桥向,当在大的地振动作用下,忽略可动支座动摩阻的影响时：简支梁一般都是一端设置固定支座,另一端设置活动支座,那简支梁桥的振动单元就为每个桥墩与其固定支座所联结的上部结构；连续梁则可能在中间墩采用一个或多个固定(或弹性)支座联结,那连续梁桥的振动单元为中间设置固定(或弹性)支座的桥墩与整个上部结构。

横桥向：桥梁的支座在横桥向上一般都设置为固定,或采用横向限位装置的弹性支座,也就是说桥梁的上部结构和墩台是固定结合的。当桥墩的基础相同、墩高和跨度差别较小时,每一个振动单元可取一个桥墩与其左右两跨的各一半上部结构作为一个振动单元；当墩高和跨度差别较大时,则需要将全桥视为一个振动单元。

2.2 桥梁的自振周期

将桥梁的振动单元分割开后,对每一个振动单元进行特征值分析,计算出振动单元的自振周期T。根据规则桥梁的特性,在一个自由度方向上,一次模态为桥梁起决定作用模态,一般认为当一次模态的参与质量大于总质量的80%时,此模态就为桥梁的起决定作用模态,故桥梁的自振周期T可取一次模态对应的周期。桥梁特征值分析时,要比较精确的模拟横桥向和纵桥向的基础刚度、桥墩和支座的水平抗推刚度,在大的地震动作用下,桥墩按弹塑性(延性)构件设计时,受拉区截面已开裂,其抗弯刚度也随之变小,计算时应采用等效抗弯刚度

从圈速排名来看（当然与赛道和车手有关），保时捷排名第一，迈凯伦紧随其后，两辆意大利跑车分列第三和第四，奥迪和阿斯顿·马丁排名垫底。

EcIeff=My/φy

(1)

H——上部结构地震力作用点至墩底的高度,纵桥向为支座顶至墩底的高度,横桥向为上部结构重心至墩底的高度。

Ieff——桥墩截面的等效抗弯惯性矩，m4；

My——桥墩截面的等效屈服弯矩，kN·m；

φy——My对应的等效屈服曲率(1/m)。

我避嚣尘到幽境，一住浑忘旬日永。 春风三月山不寒，饱看青松与红杏。 半生词赋何所求，结社思陪慧远游。 清泉白石信可恋，妻儿待米难淹留。

2.3 桥墩分担上部结构的重力

所谓桥墩分担上部结构的重力,就是在地震动作用下,同一个振动单元内,不同的桥墩各自负担的上部结构重力。将所有上部结构的重力按其作用位置加载在振动单元的水平方向(横桥向或纵桥向)上时,各墩顶支座处的水平剪力就可视为该墩分担上部结构的重力。当所有上部结构由一个桥墩支撑时,那该桥墩分担上部结构重力就为该上部结构的重力；当由多墩支撑时,桥墩支座的剪力总和应为上部结构的总重力。

2.4 地震作用力计算

根据以上所述,计算出桥梁振动单元的的特征周期T和每个桥墩分担上部结构的重力Gu。桥墩的重力则需要将其简化到上部结构的作用点处,按照桥墩墩身的地震力在墩底产生的弯矩一致的原则,可采用下式计算

(2)

式中h——桥墩重心至墩底的高度；

二是编制老字号国宝级烹饪大师传承谱系。这是一项功在当代、利在千秋的抢救性工程，甄选了14位老字号国宝级烹饪大师的师门传承谱系，是老字号传承“原汁原味”的立身之本，书中记录和挖掘这14位受到过党和国家表彰的“国宝级烹饪大师”的师承体系、绝活绝技，通过走访他们的徒弟、家人，并搜集整理大量的文字和图片资料，加以整理、完善。

Gp——桥墩的总重力；

式中Ec——混凝土弹性模量，kPa；

桥墩重力简化的目的是将一个分布质量的振动体系简化为一个单质点振动的体系,也可以按其他方法简化,简化后换算质点的总重力Gt=Gu+Gd。

In conclusion,Loureirin B plus capsaicin could produce double blockage on TRPV1 and modulation on TTX-R sodium channel.The action of loureirin B on TTX-R sodium channel was independent of TRPV1 but similar with that of capsaicin on TTX-R sodium channel in capsaicin-insensitive DRG neurons.

EP=Gt×Sh/g

(3)

式中EP——换算质点的地震水平力，kN；

Gt——换算质点的总重力，kN；

根据桥梁相应水平方向上的自振周期T和按《细则》5.2条绘制出的水平设计加速度反应谱,可查得对应的反应谱值Sh,则换算质点处的地震水平力

Sh——对应水平方向上的反应谱值，g；

g——重力加速度值。

3 绘制墩柱截面的等效屈服曲率图

对于一个截面尺寸和配筋都已确定的截面,在特定的轴力N作用下,通过叠代计算就能绘制出一条该截面对应的M-φ曲线,如图2中的细实线。这是一条非常接近理想弹塑性截面的M-φ曲线,为了简化计算,需要将其简化为理想弹塑性截面的M-φ关系,如图2中的粗实线。考虑受压区保护层混凝土作用的影响,根据《细则》7.4.4条中所采用“面积相等”的简化原则,本文将截面的等效屈服弯矩My简化为其截面极限破坏状态的弯矩Mu,即:

My=Mu

(4)

根据相似三角形原理

鲁文公十七年，上距臧文仲去世已经七年，襄仲仍然引其语来判断齐君的言论，这就是叔孙豹所说的“既没，其言立”。而从“民主偷必死”这句话来看，先秦所谓“不朽”之“立言”，实乃充满道德感和智慧的简短言辞。

CHANG Xiao-zan, ZHANG Lei, LI Zi-fu, XU Yi, HUANG Qing-hai, LIU Jian-min, YANG Peng-fei, HONG Bo

(5)

上式符号意义参见图2。

图2 钢筋混凝土截面等效曲率

如上在对截面进行理想弹塑性截面简化过程中,只需求出其My0、φy0、Mu、φu四个参数值就可以了,My0、φy0为受拉区最外缘钢筋开始屈服时对应的值,Mu、φu为受压侧核心内混凝土外缘或受拉区最外缘钢筋的应变达到《细则》7.4.5条规定的极限值时对应的值。

绘制钢筋混凝土截面的实际M-φ关系曲线可采用“条带法”进行计算,本文计算实例中混凝土的应力、应变关系采用《混凝土结构设计规范》(GB50010—2002)中7.1.2条的规定,对于保护层混凝土完全按该条的计算方法,但对核心内混凝土的峰值压应力和极限压应变两个参数按照《细则》7.4.5条的规定采用。

4 墩柱的变形计算

为了简化墩柱随墩高方向上不同的塑性转动,《细则》引入了等效塑性铰长度Lp的概念,假定墩柱根部进入屈服状态后,整个Lp范围就都进入了塑性状态(即塑性铰区的等效屈服转角θy=φy×Lp),塑性转动只发生在Lp范围内且均匀分布,也就是说将整个桥墩模拟为塑性铰区的理想弹塑性体和非塑性铰区的理想弹性体。

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利用图1的方法计算塑性铰的弹塑性变形,将其纵坐标轴变换为弯矩M,水平轴变换为转角θ,根据△OAB的面积与□OCDE的面积相等,可以推导出塑性铰在进入塑性后的弹塑性转角

(6)

上式中的θ包含了塑性铰在弹性区段内的转角θy,扣除后就可得其塑性区段内的转角θp

(7)

式中ME——不考虑塑性变形的情况下,计算出桥墩根部的弹性弯矩,包含恒荷载作用下的初始弯矩；其他符号意义参见图2。

长三角一体化上升为国家战略，能够提升区域和国家竞争力，更好地参与国际竞争与合作。从长三角城市群的发展来看，中心城市上海在经济实力、科创实力、国际竞争能力等方面表现突出，带动城市及区域共同体发展作用显著。同时，有利于理顺我国区域发展格局，促进各大区域战略互补互动、互联互通，带动我国实现陆海全域发展。

5 独柱墩(或独柱模式)计算实例

某桥为(30+40+2×30) m的连续箱梁桥,纵桥向在40 m跨右侧的桥墩上设置两个纵向固定的钢制球形抗震支座,其余支座均为纵向滑动、横向固定,桥墩采用双柱门形桥墩(墩柱中心间距3.0 m),C40混凝土,墩柱截面以及配筋见图3,墩高7.5 m,梁底至墩顶的高度为0.3 m,承台高2.0 m,基础由4根φ1.2 m的钻孔灌注桩组成,上部结构总重力59 240 kN,固定墩的单支座恒荷载反力7 915 kN,桥墩总重力为1 238 kN。该桥的抗震设防烈度为8度,对应的水平向设计基本地振动加速度峰值为0.2g,区划图上的特征周期为0.35 s,场地类型为Ⅱ类。本例按该桥的地震设防等级,验算其在E2地震作用下的塑性铰的转动能力。

图3 实例墩柱截面及配筋(单位：cm)

根据以上条件,计算中忽略滑动支座的影响,视设置固定支座的桥墩和全联上部结构为该桥纵向振动单元。根据桥墩的实际结构,墩柱的有效抗弯刚度采用EcIeff=12 933 235 kN·m2,上部结构的质量作用点设置在梁底,对该振动单元进行特征值分析,该桥一次模态的振动参与质量为98.4%,所以取该模态的周期为桥梁纵向自振周期,T=2.15 s,查对应反应谱的谱值Sh=0.125g,故上部结构等效质量换算点处的水平力：

PE=(59 240+1 238/2)×0.125g/g=8 179 kN

作用于每个墩柱柱底的弹性计算弯矩

ME=PE×H/2=8 179×(7.5+0.3) /2=

31 898 kN·m

θp≤θa满足要求。本文用θa表示容许转角,以区别后文提到的极限转角θu。

My0=14 301 kN·m，φy0=1.150 7×10-31/m

Mu=16 525 kN·m，φu=2.098 8×10-21/m

在植根中国发展的同时，ABB积极履行企业社会责任，关注和参与中国慈善、教育与环保事业。在本届“ABB电力与自动化世界”活动上，ABB连续第14年向“ABB-新长城特困大学生助学基金”捐助100万元，以资助国内高校电气工程和自动化等相关专业特困学生完成学业。截至目前，ABB已累计捐助约1600万元，有46所高校的4300多名大学生和近千名技校学生受益。

图2示，2014年黑龙江省肿瘤登记地区恶性肿瘤死亡率在≤30岁缓慢上升，>30岁快速上升，男性死亡率高于女性，并且男性和女性死亡高峰都在85岁；城市地区，≤10岁女性死亡率高于男性，>10岁男性死亡率高于女性；农村地区，≤35岁男女死亡病率交替升高，>35岁男性死亡率高于女性。

φy=16 525×1.150 7×10-3/14 301=

1.277 8×10-31/m

根据《细则》中计算塑性铰长度的方法得LP=0.808 m,由公式(7)可得

θp=0.5×[(31 898/16 525)2-1]×1.277 8×

10-3×0.808=1.9×10-3×0.808=1.407 3×10-3

由《细则》中式7.4.3-1

θa=(φu-φy)×Lp/K=(2.098 8×10-2-

1.277 8×10-3)×0.808/2=7.962 9×10-3

在柱底对应轴力7 915+1 238/2=8 534 kN作用下,根据截面和配筋特性计算出截面的特征值如下

由公式(5)可得

6 框架墩

当在地震水平力作用下,若墩柱所受的轴力不发生变化,墩柱截面的M-φ就是一个特定而不会改变的关系,但框架墩在横桥向上作用的水平力会使墩柱的竖向力发生改变,截面的M-φ关系也随之改变,这就需要对框架墩进行静力非线性分析。

与独柱墩不同,框架墩在验算其塑性变形能力时可发生的塑性铰并非单一,而是多个。同样将桥墩视为一个具有完全弹塑性恢复力特性约束,上部结构作用点视为质点,框架墩重力按式(2)简化到该点处,根据能量守衡原理,地震动作用下,该质点产生的水平力所做的功与桥墩变形吸收的能量是相等的。为了能使框架墩的弹塑性变形表述更简单明确,采用上部结构作用点处的水平力P和水平位移δ来表述桥墩的弹塑性变形。

在对框架墩进行静力非线性分析过程中,随着上部结构作用点在水平方向上的作用力不断增加的过程,根据各个墩柱塑性铰处的N-M-φ关系以及塑性铰发生的前后关系(此过程伴随着力的重新分配),可以绘制出一条关于上部结构作用点处水平力和水平位移的P-δ关系,即将图2中的纵轴改为P,横轴改为δ,细实线为实际履历曲线。

6.1 初屈服状态判断

随着水平力的增加,各塑性铰依次进入屈服状态,当第一个进入塑性状态的塑性铰发生时,框架墩整体结构的刚度会变小,上部结构作用点对应的水平位移可视为框架墩整体结构的初屈服位移δy0,对应的水平力则为桥墩的初屈服水平力Py0。

6.2 极限状态判断

框架墩与独柱墩有所不同,当第一个达到极限状态的塑性铰发生时,由于结构的整体作用,整体结构并未达到了极限状态,日本道路桥示方书·同解说Ⅴ耐震设计篇中10.8条中规定：对于单层框架墩,当所有塑性铰都达到极限状态或某一个塑性铰的转角达到了其极限转角的2倍时,才认为框架墩达到了极限状态,此时上部结构作用点对应的水平位移为框架墩的极限位移δu,对应的水平力则为桥墩的极限水平力Pu。

6.3 绘制框架墩上部结构作用点的等效屈服P-δ关系图

利用式(4)和式(5)的原理,可以计算出上部结构作用点处的等效屈服水平力Py和水平位移δy,即

课程总评成绩为：平时成绩占50%，期末成绩占 50%，总成绩100分。这样既能调动学生上课的积极性，又避免了“一考定终身”的局面。

Py=Pu

(8)

(9)

这样就可以绘制框架墩上部结构作用点处等效屈服P-δ关系图,即将图2中的纵轴改为P,横轴改为δ后的粗实线。

6.4 计算框架墩上部结构作用点的弹塑性位移

利用图1的原理,只需要将式(6)和式(7)做一个简单的符号替换就可以了,即

(10)

(11)

式中δ——桥墩上部结构作用点处弹塑性水平位移，m；

δp——桥墩上部结构作用点处塑性区内的水平位移，m；

δy——桥墩等效屈服位移，m,即桥墩结构等效屈服时上部结构作用点的水平位移；

PE——不考虑塑性变形的情况下,计算出桥墩上部结构作用点的水平力，kN；

对该网络模型，可用42个加速度频谱所代表的不同情况来训练。它们从设置在框架上的加速度传感器记录转换而得，这些谱值中包含着哪个构件是受损的以及损坏程度的信息，具体是指以下方面：

Py——桥墩等效屈服水平力，kN,即桥墩结构等效屈服时上部结构作用点的水平力。

6.5 计算框架墩上部结构作用点的容许水平位移

根据功的表达式,当用弯矩M和转角θ表达时为W=M·θ,当用水平力P和水平变位δ表达时为W=P·δ。首先对《细则》中式7.4.3-1{θa=Lp(φu-φy)/K} 做个等价转换,该式是按独柱墩塑性铰的转动角参数表示其塑性区段内的容许变形,也就是塑性铰在塑性区段内的容许转角为(θu-θy)/K。显然,对于塑性铰的某一个转角θi,上部结构作用点都有唯一对应的水平位移δi,若用上部结构作用点处的水平位移表示其塑性区段内的容许变形,则可以写成

δa=(δu-δy)/K

(12)

式中δa——上部结构作用点处塑性区段内的容许水平位移，m；

δu——桥墩极限位移。独柱墩为塑性铰达到极限转角(θu=Lpφu)时上部结构作用点对应的位移，m；

δy——桥墩等效屈服位移。独柱墩为塑性铰达到等效屈服转角(θy=Lpφy)时上部结构作用点对应的位移，m。

综上所述,若用上部结构作用点处的水平力P和水平位移δ来表达桥墩的弹塑性变形,则可以将独柱墩和框架墩统一起来,就可以采用式(12)来计算桥墩在塑性区段内的容许变形,但这与《细则》7.4.8条规定的容许变形有所不同,这里只是一个参考。

7 结语

当桥墩变形进入塑性区段以后,质量作用点处的实际位移相对假定为完全弹性体的位移要大,也就是桥梁体系的实际自振周期比按完全弹性体计算得到的周期要长。根据反映谱曲线图,当周期大于0.1 s 后,随着体系周期的增长,地震作用力只维持平衡或减小。所以当桥梁的地震动响应不复杂的情况下,利用能量守恒原则计算桥墩的弹塑性变形是偏安全的,并能很大程度上简化计算方法。

[1]JTG/T B02—01—2008,公路桥梁抗震设计细则[S].

[2]GB 50011—2001,建筑抗震设计规范[S].

[3]GB 50010—2002,混凝土结构设计规范[S].

[4]道路桥示方书·同解说,Ⅴ耐震设计篇[S].东京：日本道路协会,平成14年3月.

[5]范立础.桥梁延性抗震设计[M].北京：人民交通出版社,2001.