均匀拉伸的橡胶带上任意一点的速度公式

项林川

(华中科技大学物理学院 湖北 武汉 430074)

有多篇文献讨论过有趣的“甲虫和橡胶带”问题[1～4].该问题可表述如下[4].

【题目】一条水平的橡胶带长为L, 一端固定在墙上，另一端是自由端.今自由端以速度v0运动而将橡胶带不断地均匀拉长.同时，橡胶带上的一只甲虫从墙开始沿橡胶带向自由端运动，甲虫在橡胶带上的速度始终为u，且u

文献[2]通过解微分方程进行了求解，其中要用到甲虫相对地面的速度，这里的关键是确定橡胶带在被均匀拉伸的过程中其上任意一点的对地速度.那么，这个速度是如何得到的呢？文献[2]并未给出具体过程.本文对此进行了讨论.

需要指出的是，甲虫在橡胶带上的速度u实际上是相对于t时刻甲虫所在点而言的，而同一时刻甲虫相对于橡胶带上其他点的速度并不是u[4].显然，由于橡胶带被均匀拉伸，橡胶带上各个点的速度是不相等的;若是相等的话，橡胶带不是被均匀拉伸，而是作整体平移.实际上，橡胶带上任意两点的速度都不相等，否则，这两点之间的这段橡胶带就不会被拉长.比如，橡胶带的自由端和墙上的固定端的速度分别是v0和零.

为方便计，设t时刻橡胶带上x处的质点相对地面的速度为v, 而x+dx处的质点相对地面的速度为v+dv, 并建立如图1所示的坐标系.

图1

考虑在t到t+dt的时间间隔内x到x+dx之间的这一小段橡胶带的伸长量Δl，则Δl应正比于dx，即

Δl=αdx

(1)

并且，Δl还正比于x处和x+dx处的速度差dv，即

Δl=βdv

(2)

由(1)式和(2)式得

dv=γdx

(3)

对(3)式两边积分

(4)

可得t时刻橡胶带上x处的对地速度为

v(x)=v(0)+γx

(5)

固定端的速度始终为零，即

v(0)=0

(6)

自由端的速度始终为v0，且在t时刻的坐标为L+v0t, 则由(5)式和(6)式可得

v0=γ(L+v0t)

(7)

因此，(5)式可写为

(8)

至此，我们就得到了均匀拉伸时,任意t时刻橡胶带上x处的对地速度.

另外，参照图1，由于是均匀拉伸，长度相等的小段橡胶带两端处质点的速度差均应相等才行，即要求

(9)

其中C为常数.这相当于(3)式.所以，由(9)式可以得到与上面相同的结果.

其实，只要橡胶带是均匀拉伸的，上述方法还可以推广到自由端的速度随时间变化的情形，即推广到

v0=v0(t)

的情况.只需将(7)式改写成

就可以把(8)式的结果推广为

参考文献

1 (俄)Alexander A. Pukhov著. 罗琬华译.甲虫和橡胶带 —— 一个有意外解的问题(上). 大学物理，1995, 14(8):46

2 (俄)Alexander A. Pukhov著. 罗琬华译，甲虫和橡胶带 ——一个有意外解的问题(下). 大学物理，1995, 14(9):42

3 朱洪玉.关于“甲虫和橡胶带“问题的最简便解法 . 大学物理，1996, 15(7):44

4 项林川.“甲虫和橡胶带”问题新解 . 大学物理，2007, 26(6):24～25