一维无限深势阱内粒子概率密度演示仪

易其顺

(广西民族师范学院物理与信息技术系,广西崇左532200)

1 引 言

薛定谔方程是近代物理的一个主要内容,而一维无限深势阱又是应用薛定谔方程解决实际问题的典型例子,因此讲解一维无限深势阱相关内容时如何让学生学会利用薛定谔方程解决问题和进一步理解波函数的统计解释非常重要.可是这部分内容又比较抽象,学生学习比较困难,兴趣不高,因此有必要将这部分抽象的内容进一步具体化.基于这样的考虑,在多年的教学研究的基础上,设计并制作了一维无限深势阱中粒子概率密度分布的演示仪,效果良好.

2 实验原理

2.1 一维无限深势阱的模型

在金属中的自由电子不会自发地逃出金属,就是因为它们在各晶格结构点(正离子)形成的“周期场”中运动,可以抽象地认为电子在无限深的势能势阱中运动.图1为一维无限深势阱的势能曲线图[1],其中纵坐标表示势能,横坐标表示距离.从图中可看出,当 x≤0或 x≥a时,势能为无穷大,此时粒子态函数的表达式为ψ(x)=0,即粒子不会出现.当0＜x＜a时,势能表达式为V(x)=0.这样,粒子就被限制在 x=0和 x=a两点之间无限深的平底深阱中运动.势阱内势能与时间无关,所以满足定态薛定谔方程,因此势阱内的方程为

其解为

图1 一维无限深势阱的势能曲线

由标准化条件和归一化条件,确定各参量得定态波函数为

图2 粒子定态波函数和概率密度函数图

2.2 实验原理

这样,波函数就可以看成是2列沿 x轴相反方向传播的单色平面波的叠加.由 kn=nπ/a及kn=pn/得

图3 电子在势阱内的驻波图及概率密度图

3 实验装置

实验装置如图4所示,装置总共由两部分组成,第一为驻波产生部分,第二为演示部分.驻波产生部分由信号发生器、喇叭、升降台以及固定于喇叭上的果冻壳、木条、细线和小沙桶组成.其中,振动部分参考了文献[2]的振动源.演示部分主要由如图4所示的演示板组成,演示板上将各个能级所对应的直线按1∶3∶5的间隔比例画在板上,在每条能级线上标出该能级状态下粒子态函数的驻波图像和概率密度图像同时取最大值的位置(用虚线标出),同时在每条能级线的左端装上1个小滑轮.

图4 演示实验装置图

4 实验演示

4.1 演示 n=1时的粒子的概率密度

调节升降机的高度,使细线与n=1的直线重合,调好信号发生器的输出信号,打开信号发生器的电源,此时,喇叭开始振动,木条也跟着振动,再调节砂桶的重量,使细线在0和 a之间形成1个驻波.如图3中的 n=1所示.从图中可看出,在a/2处粒子出现的概率最大.在0和 a处粒子概率最小.

4.2 演示n=2时的粒子的概率密度

调节升降机的高度,将细线换到n=2的滑轮上,使细线与 n=2的直线重合,重复4.1操作使细线在0～a之间形成2个驻波.如图3中的 n=2所示.从图中可看出,在 a/4和3a/4处粒子出现的概率最大.在0,2a/4和a处粒子概率最小.

4.3 演示n=3时的粒子的概率密度

调节升降机的高度,将细线换到n=3的滑轮上,使细线与 n=3的直线重合,重复4.1操作使细线在0～a之间形成3个驻波.如图3中 n=3所示.从图中可看出,在 a/6,3a/6和5a/6处粒子出现的概率最大.在0,2a/6,4a/6和 a处粒子概率最小.

5 注意的问题

5.1 制作注意的问题

1)制作演示板时 x轴及n=1,2,3所代表的线的距离要按1∶3∶5的比例(按各能级间隔).

2)驻波产生部分的喇叭要选用低音喇叭,先将小木条穿过果冻壳顶部,并用固胶固定好,待固胶凝结后,再将果冻壳底部用固胶固定在喇叭的振动膜上,然后在小木条上系棉线.其实振动部分如果用音叉或打点记时器(经改装后),效果更明显,本文只是因为实验室有废旧的喇叭才采用它作为振动部分.

5.2 演示时注意的问题

1)低频信号发生器的信号调到50 Hz.

2)事先分别调好n=1,n=2,n=3时,桶的重量(以便实验时节省时间),先调节升降台,使小木条基本与n=1,n=2,n=3所代表的线重合,然后挂上相应的滑轮,最后进行细调.

6 结束语

本仪器只能够从总体上让学生观察到电子在阱内概率密度的分布规律,不能从图像中看出粒子在某一点的概率密度多大,这是本仪器的不足之处.但是演示教具构思巧妙,结构简单,制作容易,所用的材料都是实验室里或是日常生活中常见的物品,在课堂上利用它进行演示,能够让学生观察到直观的一维无限深势阱内粒子不同的地方概率密度的分布规律,有助于学生对这一知识点的理解.更重要的是透过这种由常见物品巧妙融合而成的教具,能激发学生学习的兴趣,同时给他们某种启迪.

[1] 梁绍荣,刘昌年,盛正华,等.普通物理学(近代物理学基础)[M].北京:高等教育出版社,2001:113-114.

[2] 易其顺,黄国现.一种演示 RLC电路相频特性实验仪[J].大学物理,2007,26(1):41.

[3] 刘名扬,孙维瑾,张民.一种演示 RLC电路相频特性实验仪[J].物理实验,2008,28(11):12.

[4] 胡志日,张钰,房熊俊,等.基于LabV IEW的衍射自动演示仪的设计[J].物理实验,2009,29(3):14.

[5] 张朝民,张欣,陆申龙,等.巨磁电阻效应实验仪的研制与应用 [J].物理实验,2009,29(6):15.