微分几何在非线性系统中的应用

赵建红，宋芳芳

(通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002)

1 引言

随着非线性系统许多理论应用到实际的同时，非线性系统的研究也越来越受到应用技术界的重视，其所使用的研究工具—微分几何也引起了控制界的广泛兴趣，它已经被确认是研究非线性系统的重要工具.本文介绍微分几何在非线性系统中两方面的应用.

2 在非线性振动系统中的应用

2.1 非线性模态的概念

为了分析描述多自由度非线性振动系统的性态，20世纪60年代初期，美国学者Rosenberg首次明确地引入了非线性模态的概念.他将非线性模态定义为系统的一种不变运动：所有质点在某个时刻同时达到各自的最大位置，而在另一时刻，则同时通过各自的平衡位置.有关非线性模态的研究，重新受到国内外学者的关注，则是从1990年开始的.其主要代表人物是希腊的Vakakis 和美国的Shaw等.前者继承了Rosenberg的思想，在考虑系统的能量因素的基础上，利用奇异摄动法构造了许多二自由度系统以及若干连续体系系统的非线性模态，并分析了相应的模态响应.后者则从不变流形的观点出发，将非线性模态定义为一个二维流形.事实上，如果不考虑能量因素的话，该二维模态流形只是近似不变的.

对于n自由度非线性振动系统，其运动微分方程如下:

(1)

假设系统是保守的，其振动的能量水平为h，系统的势能函数为V(x1,x2,…,xn).选定某个坐标，如x1作为非线性模态的坐标(参考变量)u，然后将其余的坐标表示为该模态坐标的函数，即

(2)

上述关系式就代表了非线性模态流形.具体求解时，将(2)式代入到(1)式，并考虑到系统的量h,易于推得，相应非线性模态满足如下的具有可动边界的非线性微分方程组：

(3)

可以假设出xi(u)的形式，比如多项式形式，然后代入到方程(3)中确定各个系数.

应当指出的是，不同于线性系统，非线性系统的模态数目可能会多于系统的自由度数目：非线性系统的模态也可能是直线形状的.在存在对称性的系统中，有可能精确地构造出系统的模态.

2.2 非线性模态与Riemann曲面上测地线的关系

对于非线性振动系统，虽然可以象线性振动系统那样构造相应的Rayleigh曲面，但却难以在Rayleigh曲面的几何性质与系统的非线性模态之间建立类似的对应关系.为此，根据分析力学中的Maupertuis-Lagrange原理，建立非线性模态与Riemann流形上的极值测地线的关系.引入如下的度规张量

(4)

则可以证明：非线性模态总是满足如下关系式

(5a)

(5b)

公式(5)的含义可用文字表述为：非线性模态对应于度规张量为(4)式的Riemann曲面上的极值测地线，即，在所有通过坐标原点和势能曲面V(x1,x2,…,xn)=h的测地线之中，取极值者就是相应的非线性模态.

3 在非线性系统线性化中的应用

设非线性单变量系统由下列方程描述:

(6)

其中x是n维C∞流形M上的局部坐标；f(x),g(x)是M上C∞向量场的局部坐标表示；h(x)是M上的C∞映射，即h∶M→R1，而且系统具有相对阶次r，即r是满足下式的最小整数：

(7)

(8)

(9)

通过非线性坐标变换和非线性状态反馈，系统(6)被变换成一个完全能控的线性系统：

(10)

4 结论

如同线性代数是线性系统的重要工具一样，微分几何法在研究非线性系统问题中，有着广泛的应用，其概念、方法和理论逐渐成为该领域的一个重要工具.

参考文献：

[1]Goldstein H.Classical mechanics.3rd ed[M].san Francisco:Addison Wesley, 2002.

[2]Cheng D,Tam T J,Isidon A.Global Extemal Linearization of Nonlinear Systems Via Feedback[J].IEEE Trans.Aut.Contr,1985,AC-30.

[3]周兆敏.非线性系统的线性化方法[J].电气传动,1989(4):42-46.

[4]梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2004.