差分方程在研究市场价格波动问题中的应用

2010-01-25王慧贤

通化师范学院学报 2010年12期

王慧贤

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠 233030)

1 问题的提出

在经济领域中，我们可以从自由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产；随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降；在没有外界干扰的情况下，这种现象将会反复出现.其实在上述现象中，我们更关心的是商品的售价与产量这两个指标，因为它们是整个经营过程中的核心因素.那么如何从数学的角度来表现和分析这两个因素的规律，以把握好市场经济的发展趋势，取得良好的经济效益呢？

2 差分模型的建立与分析

2.1 模型假设

(1)首先把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期，设k时段商品数量为xk，其价格为yk，故有

yk=f(xk)

(1)

并称之为需求函数.这样做是出于对自由经济的理解，同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，商品的数量越多，其价格就越低，故可假设：需求函数为一个单调下降函数.

(2)下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把

xk+1=g(yk)

(2)

称之为供应函数.由于价格越高可以导致产量越大，故可设该函数是一个单调上升函数.

2.2 模型的几何表现与分析

模型的几何表现就是将两个变量xk和yk的变化过程表现出来.故将函数f和g在同一个坐标系中描绘出来，这种形式可作为差分方程求解与分析的重要手段，它的主要数学技术是：曲线上点列的描绘.我们把关心的变量的所有可能取值表示出来，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量.可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的.

图1 蛛网图

在进行市场经济分析中，f取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平，g取决于生产者的生产、管理等能力，当已经知道需求函数和供应函数之后，也可以根据f和g的性质判断平衡点p0的稳定性，当|x1-x0|较小时，p0点的稳定性取决于f与g在p0点的斜率，即当|f′(x0)|<|g′(y0)|时，p0点稳定，当|f′(x0)|>|g′(y0)|时，p0点不稳定.其经济意义是：需求曲线越平即需求平稳，供应曲线越陡即供应充足，越有利于经济稳定.

2.3 模型的差分方程分析

yk-y0=-α(xk-x0),xk+1-x0=β(yk-y0)

以上两式中消去yk，得

xk+1=-αβxk+(1+αβ)x0

(3)

这是一个关于xk的一阶线性差分方程.当然它是原来方程的近似模型.作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的.(3)式对k=1,2,…均成立，有

xk+1=-αβxk+(1+αβ)x0
(-αβ)xk=(-αβ)2xk-1+(-αβ)(1+αβ)x0
(-αβ)2xk-1=-(-αβ)3xk-2+(-αβ)2(1+αβ)x0
… … …
(-αβ)k-2x3=(-αβ)k-1x2+(-αβ)k-2(1+αβ)x0
(-αβ)k-1x2=(-αβ)kx1+(-αβ)k-1(1+αβ)x0

以上k个式子相加，得(3)式的解.

(4)

3 应用举例

例1 在农业生产中，种植先于产出及产品出售一个适当的时期，t时期该产品的价格Pt决定着生产者在下一时期愿意提供给市场的产量St+1，还决定着本期该产品的需求量Dt，因此有Dt=a-bpt,St=-c+dpt-1，(其中a,b,c,d均为正常数).假设每一时期的价格总是确定在市场售清的水平上，即St=D.

(1)求价格随时间变动的规律；(2)讨论市场价格的种种变化趋势.