旱地生态学问题弱解的估计

吴军优，李若霞，臧 慧，王艳明

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

在旱地生态学问题的研究中，生态学家在［1］中提出了如下微分方程的生态学模型：

Ω奂R2，Ω为具有光滑边界的区域，β，γ，σ，μ，δ，ρ，p均为正常数，n表示植物量密度，w表示地下水的密度，源项p表示降雨量。通过对该模型建立解的正则性估计，能够使生态学家给沙漠化现象以理论解释。这里我们对n，w在x，y方向分别提周期边界条件。

下面用Ci（i=1～23）表示各种不同的正常数

定理：（弱解的正则性）设n0，w0∈H2（Ω）则对系统（1.1）-（1.3）的非负弱解有：

其中C1，C2是仅与β，γ，σ，μ，δ，ρ，p，T及初值有关的常数。

证明：对方程（1.1）运用极值原理及能量方法有：

对方程（1.2）运用能量方法及Gronwall不等式有：

对方程（1.1）关于t求导并运用能量方法有：

对（1.2）关于t求导并运用能量方法及Sobolev不等式有：

由（4）、（5）两式Gronwall不等式得：

由方程（1.1）（1.2）得：

由Stokes方程正则性结果得：

定理即证。

［1］J.von Hardenberg，E.Meron，M.Shachak，etc.，Diversity of Vegetation Patterns and Desertification［J］.Physical Review letters，2001，87（19）.

［2］R.lefever，O.lejeune，P.couteron，In mathematical models for biological pattern［J］.IMA，2000，121（2）：83～112.