关于 Bernoulli卷积的一个谱性质

刘春苔,李泽芳

(1.武汉工业学院数理科学系,湖北武汉 430023;2.武汉职业技术学院计算机系,湖北武汉 430047)

关于 Bernoulli卷积的一个谱性质

刘春苔1,李泽芳2

(1.武汉工业学院数理科学系,湖北武汉 430023;2.武汉职业技术学院计算机系,湖北武汉 430047)

设μρ是 R上的参数为 0＜ρ＜1的 Bernoulli卷积测度.Hu和 Lau证明了 L2(μ)空间中含有一个无限指数型正交序列的充要条件是ρ是分数 p/q的方根,其中 p为奇数,q为偶数.本文讨论当ρ为其余情形时,指数型正交序列集中元素个数,证明了当ρ-1不是奇数型方程的根或者其本原最小多项式 g(x)满足 g(l)为奇数时,则 L2(μ)中任何指数型正交集至多含有两个元素.

Bernoulli卷积测度;最小本原多项式;正交集

设μ是 R上的一个 Borel概率测度.称μ为一个谱测度,如果存在一个离散集合Λ使得集 E(λ)={e2π/λ(·)：λ∈Λ}为 L2(μ)的一个正交基 ,此时称Λ为 μ的谱,(μ,Λ)为谱对. 因为 (μ,Λ)为谱对当且仅当对任意实数 t,(μ,Λ+t)为谱对,故为了简洁性,可以假定 0∈Λ.谱测度最初是 Jorgensen和Pedersen[1]提出的,他们证明了：

定理 1设 k＞2为整数,μ为 R上 1/k-Cantor测度,则μ为谱测度当且仅当 k为奇数.进一步,如果 k为偶数,则 L2(μ)中任何正交集 E(Λ)中至多含有两个元素.

对任意 Borel集 A⊂R,0＜ρ＜1,称下式所定义的测度μ=μρ为 Bernoulli卷积测度

注意到上述定理中的 Cantor测度μ=μρ是 Bernoulli卷积测度μ的特殊情形,而对 Bernoulli卷积测度的研究已经有了很长的历史了[2-5]：0＜ρ＜1/2时为Cantor型测度;1/2＜ρ＜1时为有重叠情形.Laba和Wang[6-7]将定理 1推广到一般的 Borel测度.Strichartz[8-10]考虑了这种谱 Cantor测度的 Fourier级数和 Fourier变换.Hu和 Lau[11]考虑了满足式(1.1)的 Bernoulli卷积测度,其中参数ρ∈(0,1),他们证明了如下定理.

定理 2设μ=μρ为式 (1)所定义的ρ-Bernoulli卷积测度,则 L2(μ)包含一个无限正交指数型序列集 E(λ)的充要条件是ρ为 p/q的 n次方根,这里 p为奇数,q为偶数.

称下面的代数方程为奇数型方程

其中 a,b,c为奇数,m,n,l为非负整数.本文讨论当ρ不是 p/q的 n次方根 (p为奇数,q为偶数)时,正交集 E(Λ)中所含元素的个数,我们得到如下定理：

定理 3设ρ-1的最小本原多项式为 g(x),若g(l)为偶数或者ρ-1为奇数型方程的根,则 L2(μ)中的任何正交集 E(Λ)至多含有两个元素.

设μ为式 (1.1)所定义,则其 Fourier变换为

记β=ρ-1.在文[11]给出了下面两个引理.

引理 1设 G为μ∧(t)的零点集,则 G={t=aβj/4：其中 a为奇数,j为正整数}且 G=-G.证明：对式 (1.1)两边进行 Fourier变换得

无限迭代下去,得

由于ρ∈(0,1),则对于任何 t,存在充分大的 J使得当 j ＞ J时,|2π ρjt| ＜π/2,于是 ,|cos(2π ρjt)|＞0.考虑到级数的通项与(π ρjt)2/2是等价无穷小,而后者所形成的级数在 R上内闭一致绝对收敛,于是上述级数在 t=0处连续,从而(t)在零点连续.考虑到(0)=1,并且j趋于无穷时 ρj趋于 0,从而(t)的零点集为cos(2π ρjt)零点集的并,即 G={t=aβj/4}其中 a为奇数,j为正整数.后一结论成立因为 cost是偶函数.

引理 2设 0∈Λ是一个离散集.则 E(λ)为L2(μ)的正交集当且仅当 (Λ -Λ)|{0}⊂ G.进一步,Λ|{0}∈G.

证明：集 E(Λ)为正交集当且仅当对于λ,λ′∈Λ,λ ≠λ′有

这就等价于λ-λ′∈G.而后一结论成立是因为 0∈Λ.

2 主要结果的证明

引理 3如果β＞1不是奇数型方程的解,则L2(μ)中正交集 E(Λ)至多含有两个元素.

证明：设 #E(Λ)≥3.在Λ中任取两个不等的非零元λ,λ′.由引理 2知λ-λ′∈G.而由引理 1可知存在奇数 a,b,c和非负整数m,n,l使得λ =aβm,λ′=cβn且

于是β是奇数型方程的解.

令Q[x]为有理系数多项式的全体,Z[x]为整系数多项式的全体.如果一个整系数多项式 f(x)的系数互素,则称 f(x)为本原多项式.若它还是实数β的最小多项式,则称其为最小本原多项式 (相对于β).下面的引理证明很简单,可以在任何一本代数书上找到,故略过其证明.

引理 4设 g(x)∈Q[x]为β的最小多项式,f(x)∈Z[x]有一个实根β,则存在多项式 h(x)∈Z[x]和自然数 N,使得 f(x) =N g(x)h(x)且N g(x)∈Z[x]为β的最小本原多项式.

引理 5设β的本原最小多项式为 g(x),若g(l)偶数,则 L2(μ)的正交集 E(Λ)中至多含有两个元素.

证明：由引理 3知,若 E(Λ)至少含有三个元,则β满足某一奇数型方程记则 f(β)=0,从而存在整系数多项式 h(x),使得 f(x) =g(x)h(x).注意到f(l)=a+b+c为奇数,g(l)和 h(l)都为整数,则有 g(l)为奇数.

定理 3的证明：由引理 3和 5可知定理 3结论成立.

注：由引理5很容易得到定理1的必要性证明.事实上β=k为奇数的本原最小多项式为 g(x)=x-k,而 g(l)=1-k为偶数.

[1] Jorgensen P, Pedersen S. Dense analytic subspaces in fractal L2-spaces[J]. J Anal Math.1998,75：185-228.

[2] Falconer K.Fractal Geometry：Mathematical Foundations and Applications[M].Chichester：John Wiley&Sons,1990.

[3] Lau K S,Ngai SM.Multifractal measures and a weak separation condition[J]. Adv Math,1999,141：45-46.

[4] Lau K S,Ngai SM,Rao H.Iterated function systems with overlaps and self-similar measures[J].J London Math Soc.2001,63：249-268.

[5] Peres Y,Schlag W,Solomyak B.Sixty years of Bernoulli convolutions[J]. Progr Probab Birkhauser Basel,2000,46：39-65.

[6] Laba I,Wang Y.On spectral Cantor measures[J].J Funct Anal.2002,193：409-420.

[7] Laba I,Wang Y.Some properties of spectral measures[J].Appl Comput Harmon Anal,2006,20：149-157.

[8] Strichartz R. Remarks on“Denseanaly tic subspaces in fractal L2-spaces”by P.E.T.Jorgensen and S.Pedersen[J].J Anal Math,1998,75：229-231.

[9] Strichartz R.Mock Fourier series and transforms associated with certain Cantor measures[J].J Anal Math,2000,81：209-238.

[10] Strichartz R. Convergence of mock Fourier series[J].J Anal Math.2006,20：333-253.

[11] Hu Y T,Lau K S.Spectral property of the Bernoulli convolutions[J].Adv Math,2008,219：554– 567.

A spectral property of the Bernoulli convolutions

LIU Chun-tai1,LI Ze-fang2
(1.Department ofMathematics and Physics,Wuhan Polytechnic University,Wuhan 430023,China;2.Department of Computer,Wuhan Institute of Technology,Wuhan 430047,China)

Let be the Bernoulli convolution associated with on.Hu and Lau proved that the space contained an infinite orthonormal set of exponential functions if and only if is the nth root of a fraction where is odd and even.In this paper,we discuss the number of the orthonormal set of exponential function in other cases.And we prove that either isn't a root of a equation of“odd”type or is even,any orthonormal set of exponential function in has at most two elements,where is the minimal primitives polynomial for.

Bernoulli convolution;minimal primitives polynomial;orthonor mal set

O 174

A

1009-4881(2010)01-0103-02

10.3969/j.issn.1009-4881.2010.01.028

2009-06-25.

刘春苔 (1976-),女,硕士,E-mail：ct98-4@163.com.