基于双密度双树小波变换的图像去噪

姚 斌,郑汉垣,张 衡,杨玲香

(1石河子大学师范学院数学系,石河子832003;2龙岩学院,龙岩364000)

近年来,小波变换在图像处理领域得到了广泛应用[1～2]。但小波本身的一些缺点却影响了图像处理的效果,如缺乏平移不变性,方向选择性差等,这使得图像降噪后产生混淆,方向性缺乏等。1999年,Kingsbury[3]提出了双树复数小波变换(dualtree complex wavelet transform,DTCWT),提供了6个方向的信息,具有较好的方向性和精确的相空间信息。2001年,Selesinck[4]提出双密度小波(double-density wavelet transform,DDDWT)理论,具有近似的平移不变性。2004年,Selesinck[5]又提出了双密度双树小波变换(double-density dual-tree wavelet transform,DDDTDWT),它同时具有双树小波变换和双密度小波变换的优点,在图像去噪领域具有一定的优势。

图像分解是图像处理中新近涌出的一项重要的,具有挑战性的任务,可以把它归结为数学上的反问题范畴。通常认为一幅已知的图像 f:Ω→R可以分解为两个组成部分 u和v(即 f=u+v)。其中,u是f的结构分量,包含了图像主要的几何特征信息;v是振荡分量,包括纹理信息或噪声。对该问题的研究已经引起了国内外学者的广泛关注。目前大量工作集中在建立相应的图像分解模型上,比较成功的有独立分量分析法、变分法和稀疏性方法等[6,7]。

以往的大部分去噪方法都没有考虑到图像的几何结构和振荡分量的差异,而是统一的去处理。特别是基于阈值的去噪方法,例如,常用的软阈值去噪方法[8],虽然选取的阈值对于整个图像是最优的,但由于图像的结构和振荡分量的差异,该阈值却不可能同时是图像结构和振荡分量两部分图像的最优阈值。因此,对于含噪图像,特别是噪声比较大时,有必要先对图像进行分解,即分成结构和振荡分量,然后对两部分图像采用不同的阈值进行去噪,以达到更好的去噪效果。

本文在双密度双树小波变换的基础上,根据现有的图像分解理论,提出了一种先对图像进行相应的分解,再根据分解后图像的特性,分别进行阈值去噪的方法,从而在去除噪声的同时尽可能多的保留原图像的各种信息。

1 双密度双树小波变换原理[5]

双密度双树小波变换采用了3个 Hilbert滤波器对,即低通滤波器 h0,一阶高通滤波器 h1,二阶高通滤波器h2。它有2个尺度函数φh,φg,4个小波函数,即ψh,i(t),ψg,i(t),i=1,2。其中的2个小波函数是将另一个函数偏置一半得到的,即:

这保证了双密度双树小波变换具有连续小波变换的优点。同时,另外2个小波函数是近似 Hilbert变换对,即:

这使得双树小波利用滤波器系数优化设计时能够尽量减小多级滤波器组的混叠现象。可以利用谱分解和滤波器完备化来实现双密度双树小波变换。由2个平形的过采样迭代滤波器组构成一维双密度双树小波变换。

如图1所示,其中h表示第1个滤波器组,g表示第2个滤波器组,并且每一滤波器组中合成滤波器将是分解滤波器的时间翻转。图像经过双密度双树小波变换后,可以产生16个方向的带通子带,而复数小波只能产生6个方向的带通子带。这使得双密度双树小波变换有效地克服了小波变换的方向选择性差这一问题。

图1 由滤波器组组成的双密度双树小波变换Fig.1 Filterbank for the double-density dual-tree DWT

2 Vese和Osher的图像分解模型[9～11]

为了能够从图像 f中有效地提取结构分量和振荡分量,Meyer引入了振荡函数空间,来刻画纹理和噪声分量,这样就可以同时将两者提取出来,振荡函数空间是有界变差空间的对偶空间。Meyer给出的振荡函数空间的定义如下:

定义:设 G是由所有可以写成v(x,y)=∂xg1的广义函数 v(x,y)组成的Banach空间,这里 v的范数‖v‖＊即为满足上式的所有函数|→g|的L∝范数的下确界,其中

Meyer证明了 v即表示纹理和噪声分量,v∈G。在Meyer振荡函数空间的理论基础上,Vese和Osher提出了如下的图像分解模型:

式(6)是式(5)所对应的 Euler-Lagrange方程,求出能量极小值,就可以达到从 f中提取结构分量u和纹理或噪声分量v的目的。

该方程数值计算的初始条件为:

其中,(nx,ny)为边界的外法线。

同时他们的工作还证明了图像f除了u和v两部分外,还有残余部分w,w是被扔掉的噪声或小部分纹理,即 f=u+v+w,但残余部分非常微小。

3 新方法的描述

由于小波变换具有很强的去相关性,信号经过小波变换后能量主要集中在一些大的小波系数上,而噪声的能量却分布在整个小波域内。因此,Donoho[8]提出了小波域阈值去噪方法,认为幅值较大的小波系数主要是信号,幅值较小的系数很可能是噪声。于是,其提出了如下的软阈值等去噪方法:

式(9)中,wi,j表示各分辨率下的小波系数,^wi,j为处理后的系数,λ为阈值。它把小于阈值λ的小波系数设定为0,大于阈值λ的小波系数都减去一个阈值的大小。图像经过软阈值处理后,整体连续性较好,去噪效果也相对较平滑,在图像去噪中得到了广泛的应用。

现有的基于小波域的阈值去噪方法(包括软阈值去噪方法)都是先对整个图像进行相应的小波变换,然后在变换域进行阈值处理,最后进行逆小波变换得到去噪结果。但根据图像分解理论,含噪图像是由结构和振荡分量组成的,这两部分具有不同的统计特性,结构分量包含图像主要的几何特征信息,而振荡分量包括纹理信息和噪声,不加区别地使用同一阈值对两部分图像进行去噪,要么去除了噪声,但损失了过多的几何特征信息,要么不损失过多的几何特征信息,但同时也保留了较多的噪声。因此,本文提出一种先对图像进行分解,再进行去噪的方法,具体算法描述如下:

1)Step1。

利用Vese和Osher的图像分解模型,将含噪图像f分解为结构分量u和振荡分量v及残余部分w,由于残余部分和振荡分量的特性一致,为了使其满足完全重构,本文中令 v=f-u。

2)Step2。

PartA:

(1)对振荡分量进行双密度双树小波变换,即V=DDDTDWT(v);

(2)利用软阈值算子对V进行估计,VD=De noise(V),阈值为 tv,由于噪声主要存在于 v部分,因此tv采用相对较大的值,以达到有效去除噪声的目的;

(3)对VD进行逆双密度双树小波变换IVD=IDDDTDWT(VD)。

PartB:

(1)对结构分量进行双密度双树小波变换,即U=DDDTDWT(u);

(2)利用软阈值算子对U进行估计,UD=De noise(U),阈值为 tu,由于 u主要包含图像几何特征信息,所含噪声较少,因此 tu采用相对较小的值,以尽量保留图像的几何特征信息;

(3)对UD进行逆双密度双树小波变换IUD=IDDDTDWT(UD)。

Step3把两部分图像融合为一幅图像,得到去噪结果 fD,fD=IVD+IUD。

4 结果与分析

为了验证方法的有效性,本文对标准的灰度图像Lena(512×512,8bits/pixel)和Barbara(512×512,8bits/pixel)进行了相应的去噪实验。假定对图像加入均值为0,方差为σε的高斯白噪声。实验中,对图像进行分解时,参数λ=0.1,μ=0.1。为了避免图像平滑区域梯度为零的情况,采用参数提升梯度,即|实验中ε取为10-2。

表1给出了不同方法去噪后的 PSNR(峰值信噪比)值,其中,DDDTDWT-ST表示对含噪图像直接进行双密度双树小波变换,并使用软阈值方法去噪后的结果。

表1 不同方法的去噪性能比较Tab.1 Comparison of PSNRs for denoising algorithms

对比Lena和Barbara的实验结果(表1)可以看出,对于Lena图像,峰值信噪至少提高了1db,对于Barbara图像,峰值信噪比提高0.5db左右。究其原因,主要是由于图像振荡分量不仅包括大量噪声,还包含纹理信息,而Barbara图像的纹理信息比较丰富,以较大的阈值去除噪声的同时必定会丢失一部分纹理信息。

图2给出了噪声标准差为25时各种方法去噪结果的局部放大图。由图 2可以看出,图像经DDDTDWT-ST方法去噪后,依然存在很多孤立的噪声点,这主要是由于该方法选取的阈值相对整个图像来说是最优的,但对于图像的不同分量并不是同时最优。而本文方法对图像的不同分量采用了大小不同的阈值进行去噪,既尽量保留了图像的几何特征信息,同时又有效地去除了噪声。从实验结果可以看出,本文所提出的去噪方法是有效的,不仅PSNR值相对于DDDTDWT-ST有明显提高,而且去噪后图像的视觉效果更好。

图2 Lena图像去噪效果比较Fig.2 Comparison of the denoising methods for Lena image

5 小结

本文提出了一种新的基于双密度双树小波变换的图像去噪方法。该方法根据图像分解理论,首先使用Vese和Osher的图像分解模型把图像分成结构和振荡分量,然后根据各个分量的不同特性进行小波域阈值去噪。实验结果表明本文方法明显优于直接在小波域进行阈值去噪的方法。

[1]谢 鹏,乐立鹏,郑耿忠.基于最优小波包基酯数字图像水印算法的研究[J].石河子大学学报(自然科学版),2005,23(5):647-649.

[2]杨艳春,王小平.基于小波变换的最优阈值图像去噪[J].石河子大学学报(自然科学版),2006,24(4):517-519.

[3]Kingsbury N G. Image processing with complex wavelets [J] . Philosophical transactions :Mathematical , Physical and Engineering Sciences ,1999 ,357 (9) :2543-2560.

[4]Selesnick I W. Wavelet s in signal and image analysis :from theory to practice[M] . Berlin : Kluwer Academic Publisher ,2001.

[5]Selesnick I W. The double-density dual-t ree[J ] . IEEE Transactions on Acoustics ,Speeech ,and Singal Processing ,2004 ,52 (5) :1304-1314.

[6]卢成武,宋国乡.广义齐型Besov范数约束下的图像分解[J].计算机辅助设计与图形学学报,2007,19(12):1553-1557.

[7]Garnett J B ,Le T M ,Meyer Y,et al. Image decompositions using bounded variation and generalized homogeneous Besov spaces [J ] . Applied and Computational Harmonic Analysis ,2007 ,23 (3) :25-56.

[8]Donoho D L. Denoising by soft-thresholding[J] . IEEE Transactions Information Theory ,1995 ,41(3) :613-627.

[9]Meyer Y. Oscillating patterns in image processing and nonlinear evolution equations[M] . Boston ,USA :American Mathematical Society ,2001.

[10]Vese L A ,Osher S J . Modelling textures with total variation minimization and oscillating patterns in image processing[J ] . Journal of Scientific Computing ,2003 ,19 (11) :553-572.

[11]张力娜,李小林,张顺利,等.一种基于纹理补偿的图像恢复方法[J].石河子大学学报(自然科学版),2009,27(1):122-125.