堤防土体渗透参数的概率分布研究

李少龙，朱国胜，定培中，张文三

堤防土体渗透参数的概率分布研究

李少龙，朱国胜，定培中，张文三

（长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室，武汉 430010）

确定渗透参数的概率分布是堤防渗透稳定可靠性分析的基础。阐述了土体渗透系数和临界水力比降的概率分布研究概况。通过分布参数的极大似然估计和A-D法分布拟合检验，分析了堤防粉质粘土和粉质壤土的渗透系数概率分布；基于太沙基公式，将土粒相对密度和孔隙比作为随机变量，推导了临界水力比降的概率密度函数。分析表明，渗透系数的概率分布符合对数正态分布，临界比降的概率分布为近似正态分布。

渗透系数；临界水力比降；概率分布；堤防

我国堤防多是经过一定历史时期不断加高培厚而形成的，且其地质情况复杂，堤线较长，受不确定性因素影响众多，往往存在渗透稳定问题。堤防土体多具有不均匀性，与堤防渗流密切相关的渗透系数与临界水力比降等参数具有不同程度的变异性。然而，用传统的方法进行堤防渗流安全评估时，通常假定土体分区均匀，将渗透系数与临界水力比降在分区内作为常数。近些年发展起来的可靠性分析方法较好地考虑了堤防土体参数的随机性和变异性。

在渗透稳定可靠性分析中，确定渗透参数的概率分布是必不可少的工作。可靠度分析方法，如目前应用较多的一次二阶矩方法，需要根据基本随机变量的概率分布进行当量正态化来计算可靠指标和失效概率。随机参数的概率分布对可靠度计算的最终计算结果具有重要影响。参数概率分布规律是利用可靠度理论进行堤防渗透稳定分析的基础，然而目前对堤防土体渗透参数特别是抗渗强度概率分布的研究较少。本文分析土体渗透系数与抗渗强度的概率分布特征及分析方法，为堤防渗透稳定的可靠性分析提供基础。

1 土体渗透参数的随机特征

江河堤防的土质组成极其复杂，堤基土多为第四系冲积层，常含有粘土、壤土、细砂、砂砾石等。各种土的特性指标相差较大，无粘性土和粘性土的渗透变形特性有显著不同。同时，在宏观上土体性质被视为均匀的土层，其物理力学性质也会随着位置的不同而有所差异。土的颗粒或孔隙在空间上作随机排列，颗粒之间的作用力也是随机分布的，土体存在非均匀性和随机性，同时土体所处的物理状态及环境条件可能不同，因而土性参数具有较大的随机变异性。鉴于堤防土体的复杂性，研究其渗透参数概型分布的推断方法及概率分布规律，可加深认识岩土介质的随机特性，对堤防渗透稳定可靠性分析具有重要意义。

随机水文地质领域的研究表明，渗透系数在空间上的分布变化是极其复杂的，含水层的渗透系数在空间上的变化可达几个数量级［1］。R.A.Freeze［2］统计大量渗透系数空间变异性的结果，认为渗透系数可用对数正态分布来描述。这一结论被后来的研究者在随机地下水运动的研究中广泛应用。E.A.Sudicky［3］在加拿大Borden含水层进行野外试验，经过分析得出渗透系数服从对数正态分布的结论。众多试验研究和随机模拟都认可渗透系数服从对数正态分布，即对数渗透系数服从正态分布，这在数学处理上也带来较大方便，其统计特征可用均值和协方差函数完全描述。此外，根据中心极限定理，受大量相互独立的随机因素影响，每一个别因素在总影响中所起作用不太大的随机变量，仍服从或近似服从正态分布。因此，正态分布或对数正态分布在随机研究中得到广泛应用。

抗渗强度反映了土体抵抗渗透破坏的能力，可用临界水力比降来表征。临界水力比降是渗透稳定性分析中最基本的参数，受多种不确定性因素影响，土体的临界比降也是一个不确定性量。文献［4］指出土层的抗渗强度各处不同，同时孔隙的大小不一，分布也不均匀，这就使得各处的渗流坡降也大小不一，有的地方渗流坡降相对增大，或者抗渗强度比较弱，就有可能发生管涌。在防洪抢险的实践中发现，距堤脚一定范围内的不同位置都可能出现规模不一的险情。这就从一个方面说明堤基土层分布不均匀，实际发生的渗透比降和临界比降具有变异性。将临界比降作为随机变量，进行堤防工程可靠性分析时需要知道它的概率分布。然而关于土体渗透变形参数的随机特征研究不多，在建立堤防渗流稳定可靠性分析模型时往往对其概率分布进行某种假设。王卓甫等［5］建立了防洪堤渗透变形的风险计算模型，假定临界比降服从三角分布。周小文等［6］在堤防自动化监测预警系统中，建立了渗流安全概率评价模型，假设临界比降服从正态分布。张士辰和李雷［7］通过粗砂渗透变形20组室内实验，对比分析了流土型粗砂渗透系数与抗渗强度概型分布，认为对数正态分布的拟合效果最好。

2 基于试验数据的渗透系数概率分布推断

在土工概率计算时，应该先要对土性参数试验数据进行必要的统计分析，充分利用有限的资料得到尽可能多的规律性认识。随机土性参数的均值、方差、分布类型等统计资料往往需要较长时间的积累。如果有足够的试验数据，那么可以根据观测样本，选用适宜的理论概率分布，用统计检验的方法选择最佳的分布类型。

2.1 概率分布类型

对于土体渗透参数，用某个适当的分布来描述它，根据对参数概率分布问题的分析和经验，可以大体确定出几种可能的分布概型。岩土工程中比较常用的分布类型包括：正态分布、对数正态分布和极值Ⅰ型分布等，它们的概率密度函数分别如下：

式中：μ和σ分别为正态分布的均值和标准差；a和b分别为极值Ⅰ型分布的尺度参数和位置参数。

2.2 参数的极大似然估计

推断总体的分布类型时，通常它的某些分布参数也是未知的，这时要对未知的分布参数作出推断，即参数估计，一般可用矩法和极大似然法确定。极大似然估计法的计算较复杂，但是能充分利用分布函数对参数所提供的信息，因而具有优良性质。根据已知或假定的分布类型，以样本的概率作为似然函数，再以样本似然函数最大为准则，确定相应的分布参数。对于连续型随机变量，其密度函数为f（x；θ），θ∈Θ为待估参数，样本的观测值是x1，x2，…，xn，其似然函数为L（θ）= ∏f（xi；θ），似然函数的最大值点即为参数的极大似然估计值。根据以上原理和方法可以得到：

正态分布参数的极大似然估计为

对数正态分布参数的极大似然估计为

极值Ⅰ型分布参数的极大似然估计为

正态分布和对数正态分布的参数极大似然估计值可用样本数据根据式（4）和（5）直接计算；由式（6）可见，极值分布参数的极大似然估计值满足非线性方程，不能直接计算其解析解，本文采用牛顿-拉夫森迭代法求解。

2.3 分布拟合检验的A-D法

在实际问题中，不知道总体具体服从什么类型的分布，这就需要根据样本来检验关于分布的假设，看是否在概率统计意义上合理，即分布拟合检验。常用的检验方法有：χ2检验法、K-S检验法和A-D检验法等。χ2检验法是用划分区间的方法来考虑样本频率与理论概率之间的偏差，依赖于区间的划分，而且要求样本容量足够大。K-S法和A-D法是在每一点上考虑经验分布与理论分布之间的偏差，因而没有依赖于区间划分的缺点。可靠度计算中随机变量的尾部分布较为重要，A-D法能较好反映所检验的经验分布和母体分布在尾部的拟合情况，检验精度较高，对大子样检验和小子样检验都适用［8］。本文采用A-D检验法，其步骤如下：

（1）将样本观测值x1，x2，…，xn按由小到大次序进行重排得到x（1）≤x（2）≤…x（n）；

（2）计算统计量

（3）在显著性水平α下，如果A2小于临界值A2α，则接受原假设；否则拒绝原假设。

2.4 渗透系数概率分布

对于堤防工程，由于堤线较长，现场和室内试验不会在一个较小范围内取样，基本上沿堤线布置取样，而少量的试验数据又不满足统计分析的要求，因而可考虑在一个较大的范围内按土性分类收集测试数据，同一类土其基本特性应当是相同或相近似的，试验条件也应基本相同。这样就易于满足统计分析的要求，也充分利用了已有资料。此外，不同土类渗透系数的取值范围不同，其统计特征也有一定差异，可以检验它们是否来自同一母体。

应用上述原理方法，对长江中游某段堤防的粉质粘土和粉质壤土的渗透系数概率分布进行拟合检验，这两类土的试验数据较多，分别有73组和54组数据。表1给出了它们的分布参数极大似然估计和A-D法检验结果。分析可见，渗透系数在对数正态分布的假设条件下计算统计量小于临界值，而在正态分布和极值Ⅰ型分布的假定下计算统计量大于临界值，说明渗透系数的概率分布符合对数正态分布。采用t检验法和F检验法分别对两类土的渗透系数均值和方差是否来自同一母体进行检验，结果表明在1%显著水平下接受两类土的方差来自同一母体，但是拒绝接受两类土的均值来自同一母体，说明它们的统计特征存在一定差异。

3 随机变量函数的概率密度推导

土的临界水力比降一般通过试验测定，所获得的参数相对准确可靠，但是需要花费大量的人力物力和财力，并非所有的工程项目都具备开展大量试验的条件，有时根据类似工程或经验来选取参数，存在一定的主观性。实际工程中经常遇到样本容量不足甚至没有试验数据的情况。半经验半理论的计算公式为土体临界比降的确定提供了一种方法，同时也为其概率分布的推断提供了一条途径。

对于渗流自下而上的情况，由单位体积土在水中的浮重和作用于该土的渗透力相平衡的原理，可得到流土的临界水力比降，即太沙基公式

式中：J为临界水力比降；G为土粒相对质量密度；e为土的孔隙比。堤防工程地质勘察规程（SL188-2005）［9］中推荐该公式计算无粘性土的流土临界水力比降。除了上述太沙基公式之外，国内外研究机构和学者还提出了其它计算临界水力比降的数学公式［10，11］，可供采用。计算公式反映了土体临界比降的主要影响因素，能够满足工程需要，这些因素又各有随机性，我们可以通过计算公式根据影响因子的分布特征来分析临界水力比降的概率分布。下面基于太沙基公式推导临界水力比降的概率密度函数。

太沙基公式中有2个自变量，即土粒相对密度和孔隙比，通常认为土粒相对密度的变化范围不大而将其作为常量。有关研究表明，土体孔隙比服从正态分布。不失一般性，本文考虑2种情况，即仅将孔隙比作为随机变量以及将两者都作为随机变量。

根据式（8），由分布函数的定义有

于是得到J的概率密度表达式为

由孔隙比的正态分布概率密度可得临界水力比降的概率密度函数为

将土粒相对密度和孔隙比都作为随机变量，可以看到，土粒相对密度是土颗粒与同体积纯水的质量比值，而孔隙比是孔隙体积与固体颗粒体积之比，从概念上来理解两者相关性不大，此处认为两随机变量相互独立，联合概率密度fG，e（g，e）=fG（g）fe（e）。

表1 渗透系数概型分布拟合A-D法检验表Table 1 A-D test of probability distribution of permeability

构造随机变量G和e的两个函数U和V，即U=（G-1）／（1+e），V=G，其反函数为 G=V，e=（V-1）／U-1，易知该变换的雅克比行列式为J=（V-1）／U2，由二维随机变量函数的分布公式可得临界比降的概率密度为

上式关于临界比降的概率密度表达式含有正态分布的积分，由于形式复杂较难给出显式的解析表达，在实际运用中也会有一些困难。为此可考虑将临界比降公式按照泰勒级数展开，即

式中：a0=（μG-1）／（1+μe）；a1=1／（1+μe）；a2=-（μG-1）／（1+μe）2；μG和μe分别为土粒相对密度和孔隙比的均值。相互独立的正态随机变量之和仍服从正态分布，于是可得临界水力比降的分布为

式中，σ2G和σ2e分别为土粒相对密度和孔隙比的方差。

4 结语

渗透参数的概率分布规律是利用可靠度理论进行堤防渗透稳定分析的基础。本文对土体渗透参数的概率分布研究进行了小结，针对岩土工程中常用的正态分布、对数正态分布和极值Ⅰ型分布，通过分布参数的极大似然估计和A-D法分布拟合检验，分析了堤防土体渗透系数的概率分布。极大似然法能充分利用分布函数对参数所提供的信息；A-D法能较好地反映所检验的经验分布和母体分布在尾部的拟合情况，适合可靠度分析中的分布检验。分析表明粉质粘土和粉质壤土的渗透系数服从对数正态分布。基于太沙基公式，将孔隙比作为随机变量直接得到临界比降的概率密度，将孔隙比和土粒相对密度都作为随机变量，通过泰勒级数推导出临界水力比降的近似正态分布概率密度函数。研究结果可为堤防工程渗透稳定的可靠性分析提供基础。

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Probability Distribution of Levee Foundation Seepage Parameters

LI Shao-long，ZHU Guo-sheng，DING Pei-zhong，Zhang Wen-san
（Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of the Ministry of Water Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

The determination of probability distribution of seepage parametersisa basisof reliability analysis of leveeseepage stability.The research development of soil permeability and critical hydraulic gradient is presented.The probability distribution of levee soil permeability is analyzed by maximum likelihood estimation of distribution parameters and A-D test method for distribution fitting.On the basis of Terzaghi formula of flowing soil，the probability density function of critical hydraulic gradient is derived with soil relative density and void ratio as random variables.Results show that the distributions of the permeability of silty clay and silty loam are both subject to lognormal distribution，the soil critical hydraulic gradient obeys approximately normal distribution.

permeability；critical hydraulic gradient；probability distribution；levee

TB114

A

1001-5485（2009）04-0036-04

2008-06-24；

2008-10-17

长江科学院中央级公益科研院所基金资助（YWF0733／YT03）；长江科学院博士科研启动基金资助（YJJ0790／TY30）；国家科技支撑计划项目基金资助（2006BAC05B05-01）

李少龙（1979-），男，湖北嘉鱼人，工程师，主要从事水工渗流及地下水环境研究，（电话）027-82927243（电子信箱）lisl3000＠163.com。

（编辑：刘运飞）