ＳＳＡ到底能不能证明全等

卢文彬

人教版实验教科书数学八年级上册第十三章全等三角形13.2三角形全等的条件中,指出已知三角形的两边以及一边的对角对应相等时(SSA)并不能证明两个三角形全等.但笔者在经过缜密的证明后认为,在比较了两个三角形的形状以后,再加上“两边以及一边的对角对应相等”的条件,那就可以马上判断出这两个三角形全等.所以应该在教材中讲述如何使用(SSA)证明两个三角形全等.

人教版实验教科书八年级数学教材上册讲述的证明三角形全等有很多方法:SSS、SAS、AAS、ASA、HL.大家也知道,SSA,也就是已知三角形的两边以及一边的对角对应相等时并不能证明两个三角形全等,教材上也给出了相应的反例:

如右图中的△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但是两个三角形不能重合——不全等.从而给出了结论:已知三角形的两边以及一边的对角对应相等时并不能证明两个三角形全等.

但是细心的读者会注意到其实这两个三角形的形状不相似(△ABD是锐角三角形,而△ABC是钝角三角形).如果我们规定了两个三角形的形状相似,又已知这两个三角形的两边以及一边的对角对应相等的情况下,就不能举出两个不重合的三角形的例子,从而可以说明这两个三角形全等.

另外,在实际应用中用公理证明两个三角形全等之前,自然要判断这两个三角形是否可能全等,也就是说要比较这两个三角形的形状.显然,如果在比较了两个三角形的形状以后,再加上“两边以及一边的对角对应相等”的条件,那就可以马上判断出这两个三角形全等.

细心的读者就会发现在证明两个直角三角形全等的时候还有另外一个特殊的方法:HL,即已知两个直角三角形的一个直角边和一个斜边对应相等的情况下,就可以判断出这两个直角三角形全等.从理论上来讲,其实HL就是SSA的特例,只不过现在已知的另外一个角是90度而已,用刚才说过的理论即这两个三角形都是直角三角形,他们的形状是相同的.

另一方面,我们可以从另一角度证明SSA的正确性.

为了研究和△ABC满足SSA条件的三角形,我们作出它的外接圆(如图),并以AB为边,在同侧作△ABD,要想使其满足有一个角相等,只能使点D在圆上,要想有另外一个“非夹边”对应相等,只能取BD=AC,这样一来,显然两个三角形全等(先证明△ACE与△BDE全等,说明AD=BC,然后用SSS就可以证明这两个三角形全等了).如果AB恰好是直径,则可以作出三个满足SSA的三角形,不过全都与△ABC全等.

综上所述,笔者认为在八年级阶段,既然已经讲述了证明两个三角形全等的方法,那么应该告诉学生这一规律,并且读者也可以在教辅资料上找到很多用SSA来证明两个三角形全等的例子(这些题目要用别的方法是很难证明出来的).并且,如果真正把SSA编进教材,在学习证明三角形全等的时候就可以用这样一句话来总结两个三角形全等的条件:

已知三个条件,并且至少有一个条件是边相等的情况下,我们就可以证明这两个三角形全等.

所以,“SSA”作为全等三角形的判定定理在三角形全等这一章也未尝不可.

综上所述,将“SSA”作为全等三角形的判定定理写入教材,从培养学生探索知识能力出发,这符合新课标上开发学生数学思维,保证学生学习知识的连贯性的要求.当然,如果不至于变动太大,笔者认为至少可以加到阅读材料上.

责任编辑罗峰