思维转向：推导公式不落窠臼

雷清兰

“现实生活中的许多问题的解决方式不唯一,答案也并不是唯一的,只要能解释其合理性,就应该允许其存在,现实生活是这样,源于生活的数学也是这样,解决问题更应该这样.”数学的学习,离不开对计算公式的理解与运用,从某种意义来说,几何形体的学习,就是对它们的公式、定义、公理、定律等的把握与运用.我们在数学教学中,要时刻反思:我们的教学是否有效、是否高效,我们的教学方法、教学设计能否加入我们自己的想法,能否找些新的着力点.就像阿基米德说的那样:“假如给我一个支点,我将撬起整个地球.”我想,我们的教学,就是需要多找找这样的支点,以便让我们的学生把一个个知识点“撬起来”.

一、思维转个向,崎岖变坦途

很多时候,我们的教学习惯于按既往的思路或者思维方法去进行,这就像野外的野生动物,为了安全起见,它们总是习惯于印着原来的脚印走路,殊不知,有经验的猎人,却抓住它们的这一特点,屡屡得手.其实我们人类自己也在不知不觉中践行着这一准则,只不过不自知而已.看看我们的几个教学实例就知道了.

我们在教学北师大版课程标准实验教科书《数学》五年级上册,第27页“三角形的面积”的时候,常常按部就班地进行.

下面是“三角形的面积”的部分课堂实录:

师:要比较两个三角形的大小就是比较什么呢?

生:要比较三角形的大小就是比较三角形的面积.(教师板书课题:三角形的面积.)

师:我们可以用什么方法比较呢?今天我们就一起来探索一回吧.

生:用数方格的方法比较三角形面积.

师:还有更加普遍的方法求三角形的面积吗?

学生自主探究,动手操作,获取新知.

师:前面我们只是猜想三角形面积是底和高乘积的的一半,还需进一步证明.大家回忆一下计算平行四边形的面积公式是怎样推导出来的.

生:用割补的办法,把平行四边形转化成长方形,然后推导出计算平形四边形面积的公式.

师:那么三角形能不能通过剪拼的办法转化成长方形或平行四边形呢?我们大家分小组来做个实验,用你们手上的小三角形进行拼拼,探究一下吧.

学生探究以后,得出:两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形.

所以最后得出:三角形的面积=底×高÷2.

像上面这样的教学进程应该是比较普遍也是比较正常的,相信绝大部分的教师也是这样进行的.我们回过头来看课本的安排也是这样的(下图是课本的插图):

但如果我们把书倒过来以后,就会有新的发现,别有一番趣味.把书倒过来以后,图形却成了下面这样:

现在我们完全可以来一个“逆向思维”,反其道而行之:把一个平行四边形沿对角线剪成两个完全一样的三角形.

那么,既然平行四边形的面积等于底乘高,而三角形的面积等于平行四边形面积的一半,即三角形的面积=底×高÷2.这样,学生更加容易理解“底×高÷2”.

看,这样的推导是多么的妙!既容易理解,又容易懂,剔除了很多繁文缛节,一步到位,直中命门.

同样,梯形面积的面积计算公式,也可以如法炮制,一样会有意想不到的收获.如五年级上册第29页的“梯形的面积”的教学:

在与学生一同探究出梯形的面积计算公式后,再让学生研读课本,学生对梯形面积的计算以及平行四边形与梯形的关系自然能够领悟得更加透彻.

通过上面的剪、叠、重合、比较,再推导出三角形、梯形的面积计算公式,对学生来说,无疑会起到激发兴趣、发散思维的作用,可谓动手与操作并举,思维共想象齐飞.

二、给变形铺垫,思维软着陆

在数学教学中,有些需要实验操作完成的内容,我们往往习惯于一个实验解决问题,这样做的好处是让学生集中精神研究解决一个实验.但它有一个明显不足之处,就是对于那部分理解力稍微迟缓的学生,很难达到教学的预设.如果在实验之前来个小实验,那么效果会更好,这就像正餐之前的点心,更能起到刺激食欲的作用.

如对于圆柱的体积的教学,仿照课本上的切割拼的实验之前,我先进行了这样一个小实验:

一个长宽高分别是8厘米、6.3厘米、10厘米的长方体硬纸盒,一个底面半径是4厘米、高是10厘米的圆柱体硬纸盒.用圆柱体硬纸盒装满水(里面铺上一个薄膜袋子),倒入长方体硬纸盒,发现它们差不多装一样多的水,然后让学生观察比较两个立体模型的体积.

把两个立体模型放在一起,让学生试着根据刚才的实验以及两个模型的有关数据进行猜想:圆柱的体积与长方体的体积关系?圆柱的体积与圆柱本身的哪些量有关系?并说说自己猜想的理由.

有了这个实验作铺垫,讨论、猜想自然很热烈,学生们各抒己见,一下子把学习积极性以及探究的欲望调动起来了,大有不研究清楚不罢休的势头.

完成上述实验与猜想后,再让学生利用学具以小组合作的方式进行课本第36页的实验,相信这时候,学生对于圆柱体体积如何转化成长方体体积进行计算的领悟已经水到渠成了,对于计算公式的推导也能够自己完成.

有了前面的实验做台阶,学生的思维自然能很好地进行演绎与归纳,这就是“点心”的功效.

我们的教学有时需要给惯性思维急刹车,来一个一百八十度的急转弯,这样做的效果,无论是对学生还是对教师本身,其作用都是不言而喻的.对于学生来说,他们能够得到两种思维的洗礼,并在头脑中发生碰撞,进而激发出创新思维的火花.

责任编辑罗峰