从学生的数学错例中挖掘教育价值

金丽敏

在数学教学活动中,“错误”是学生因各种原因出现了违反教学结论或数学方法的现象,可以这样说,数学课堂上每天都有学生在出错。

“谁不考虑尝试错误,不许学生犯错误,就将错过最富成效的学习时刻。”(盖耶)可见,面对学生的错误,不能简单地判定为学生在学习过程中出现次品,而应该充分挖掘其间隐藏着的教育价值,抓住学生犯“错”的契机,把错误变成宝贵的教学资源,促进学生主动、有效的发展。

[策略一]关注错误,引导辨析

错例原委:两道练习题 ① 25+75×4②25×75×4,目的是通过变式训练,强化“乘法分配律”的运用能力。

错误表现:

甲生:25+75×4=4×(25+75)。

乙生:25×75×4=4×(25+75)。

错误比率:约占全班的20%。

更正过程:甲、乙、丙(正确方)之间开展辩论,甲、乙都认为25与75可以凑成100,就可以运用“乘法分配律”,丙认为4×(25+75)=4×25+4×75,经过争辩,甲、乙两人心服口服。

甲、乙两位学生的算法很明显是错的,如果只进行简单的更正,类似的错误还会接二连三地出现在学生作业中,因为他们对“错误”的归因会落在自己审题不仔细上,而不是落在对“乘法分配律”意义的理解出现偏差上,只有让这个错误在争辩中得到更正,才能使他们对错误产生的原因有深刻的认识。

当学生出现一些个性化的方法,尽管有可能是错误的,但足以证明他对所学内容有了独立的思考,教师要珍惜这种资源。另外,以学生的真实错误作为教学内容,把解决问题的主动权还给学生,引导他们比较、争辩,让他们自己明确产生错误的原因,自己找到更正的方法,可以从根源上有效避免以后再犯类似的错误。

1.相信学生的“错”总是有道理的。学生的错误是基于他们自认为正确的认识与决定,而出现的错例恰恰是这种认识与决定真实的表现,只有找到他们内心的想法,才能达到治标治本的效果。

2.善待学生的错。当学生在课堂上出现错误或产生问题时,教师要尊重、理解、宽容出错的学生,不应该采取“马上订正”或“立即纠正”的方法,因为学习过程中出现的错误是他们与课程内容在交互过程中产生的新的研究对象,本身就具有新的学习价值。

3.把错例作为新的学习内容。学生的错误是基于现有认知水平上发生的,在一定的范围内是有类似情况存在,唯有把这个错例作为一个新的学习内容让学生展开研究,才能让大多数学生充分关注错误产生的原因与更正的方法。

[策略二]将错就错,显露思维

错例原委:一道判别题——鳌江大厦的高度大约是1千米,目的是检查学生是否建立1千米的概念。

错误表现:生:我认为是对的,鳌江大厦看上去很高、很高。

认可比率:有33%的学生认为是对的,因为的确很高。有近33%的学生将信将疑。

释疑过程:

师:鳌江大厦看起来很高很高,那就是1千米,对吗?

生:对。

师:我们的教室大约有多高?

生:3米左右。

师:你是怎样看出来的?

生:门高2米,门上有1米。

师:那鳌江大厦共有几层……

生:19层,哦,只有60米左右?

师:有1千米吗?(全场寂静后,突发一声“没有”)

在我们的想象中,学生对“1千米”的认识应该是很容易的,谁知他们把1千米界定为很长很长(很高很高),原因在于对1千米的表象建立不牢固和估算策略淡薄,如果在这题上只作简单的评判,对“1千米”的错误认识会一直留在学生脑海中。

学生的错误中可能包含着有价值、有争议的思维方式,它是一种教学资源。另外,错误对学生而言是经过严密思考后作出的“科学”结论,在他们身上必然存在着支撑这个结论的知识框架,如果只对这个结论进行更正,那么留存在学生头脑中的知识框架还会产生类似的错误,只有先消除产生这个错误的途径,才能达成彻底更正。

1.把“错”留住,调整教学进程。教学过程是师生之间知识、思考的多向交流与碰撞,学生的信息反馈直接决定着教学进程的发展,学生错例的出现就是课堂教学流程需要变化的重要指向灯。

2.推迟介入,让错误闪现。为了显示学生出错的根源,教师必须推迟介入,使他们有独立思考、自主探索的时间,有组际之间相互交流的空间,同时教师的推迟介入也能让错误成为学生集中关注的学习内容,使学生自主找到正确答案。

3.将错就错,不攻自破。学生提出的错误观点是他们的积极发现,如果教师不假思索地轻易否定,学生的自信会受到打击。如果让学生沿着自己假设的方向去探索,直至推翻自己最初的结论,这时学生对认知的自主建构是积极主动的,也是最有效的。

[策略三]诱发错误,自我反思

错例原委:为了引出“数格子比大小的前提是所分的格子必须是同样大”这个重点,从而发现计算面积时要有面积单位,课中故意设了一个“陷阱”。

错误比率:全班几乎都“上当”了。

纠错过程:

师:来做一个游戏,男同学数格子时,女同学闭上眼睛,第二次换一下。(分别有8格和4格)

师:谁看到的图形面积大?

(生一致认为8格比4格大)

师:为什么?

生:8格比4格多。

师:是这样吗?我把两个图形拿出来让你们看一下。

生:原来是一样大。

师:怎么会一样大?

生:这两种格子大小不一样,同样大小的格子才能比较……

“统一格子的大小”是面积单位出现的雏形,课中教师引领学生不知不觉地走进了“陷阱”,而当他们认识到“上当”并从错误中猛醒过来时,会产生自我反思的联动反应,留下深刻的印象。

数学课堂除了让学生获得必备的知识技能外,还要培养学生理性的精神与克服困难的自信心、意志力,教师要有意识地设计一些障碍,并及时指导学生寻求跨越障碍的方法,反思取得成功的经验,形成克服困难的意志力。同时有意让学生经历错误,还能突出数学课程的挑战性,激励学生开展探究活动。

1.让错误有悖于常识。学生对问题的解释、判断是建立在自己原有知识背景基础上的,如果精心设置的“陷阱”有悖于学生原有的常识,发生的错误面就会相当广,学生自我审视认知结构合理性的愿望也是非常强烈的。

2.让错误激发顿悟。对错误的自我否定到新认识的重新建立是一个顿悟过程。如果教师设定的错误是学生印象非常深刻或者具有挑战性,那么渴望解决问题的内驱力就会显著增强,激发学生顿悟的几率就会增大。

3.修正中出新知。教师在课堂中精心设置“陷阱”是为了让学生经历出入“陷阱”的过程,感受到眼前的错误是认识上必须改变的问题,只有让学生在“陷阱”中“挣扎”过,错误的提醒才是深刻的,对新知识的感受才是强烈的。

[策略四]有意留错,完善认知

错误原委:直径、半径之间用关系式归纳为直径是半径的2倍,半径是直径的一半。

错误比率:只有15%的学生不认同上述归纳是正确的。

发现错误过程:

师:刚才不是看到一条直径中可以分出两条半径吗?

生:对啊。

师:直径就是半径的2倍。

生:它们要在同一个圆里。

师:(拿出两个不同的圆)这两个圆的直径与半径是2倍的关系吗?

生:没有,它们不在同一个圆里……

师:对啊,只有在同一个圆里,直径与半径才有这种关系。

“在同一个圆里”这个概念前提已经存在于学生潜意识之中,如果抽象出来变成一条性质,那必须完整地表述。但部分学生仍有可能把这个前提条件继续当做潜规则不加阐明,导致这条性质不完整、不科学。类似的错误在学生中时有发生,只在每次学生犯错时加以提醒,对学生自我反思能力的发展将是无益的。

学生的错误有时是可遇不可求的,如果能创造一些“美丽的错误”,引导学生凭借已掌握的数学知识找错、知错和改错,逐步形成主动审视、评价数学课堂中每一成员见解的习惯,那么对学生的发展将会十分有益。

1.在熟视无觉处设错。任何一个数学概念、性质都有它严格的内涵,而师生在平常的交流中难免会受到语言表述习惯的影响,一些关键性的属性会在日常语言表述中丢失,如果教师不刻意去强调,就很难保证学生能完全牢固地掌握它,教师必须在这些不经意处常设警示,加以提醒。

2.在思维转弯处设错。学生出现错误一定程度上是思维活动不顺畅或受阻的结果,思维的流畅程度直接影响着解决问题的正确率,如果教师多在一些思维活动的转弯处设置警示,将提醒学生有效地走向成功。

3.在认知系统缺失处设错。学生出错也有认知系统上的原因,完备的认知系统能使学生从多角度去思考、解决问题,如果能正视认知系统缺失对学习成效的影响,并及时有针对性地设置警示,学生在纠错训练中认知系统就能得到进一步完善。

错中有序,错中存真。学生的错误虽有不可预见性,但却是学生思维的真实反映,其间蕴涵着宝贵的“亮点”。教师应以真诚的态度去倾听,独具慧眼并及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中,让其发挥出应有的价值,折射出灿烂的光芒。

(浙江省平阳县鳌江实验小学325401)