对一道数学高考压轴题的分析与思考

李义仁

2009年高考广东卷理科数学的压轴题是数列题,这道题有什么特点,它对我们的教学有什么启示?本文拟作简要分析.

一、试题特点

题目:已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…),从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn).

(1)求数列xn和yn的通项公式;

(2)证明:x1•x3•x5…x2n-1<

分析这道试题,它有以下特点:

1. 主体结构简约.试题的主体结构是:构造数列→数列的形式化→数列性质证明.如果将数列看作一种数学模型,那么它可以看作是:建立数列模型→数列模型进一步求解.试题的主体结构很简约,而且这个简约的结构与新课程每个单元的主体结构、与新课程倡导的“知识形成→知识应用”课堂教学结构相同.

2. 双基容量较大.试题材料有平面直角坐标系中圆的方程、圆的切线、切点坐标、数列通项、幂函数、三角函数、不等式等方面的基础知识,解题过程中还要用到与之相关的其他基础知识和运用计算、作图、推理等技能,因此,试题的知识跨度比较大,双基容量比较大.

3. 解题方法多样.多方面知识综合的问题往往意味着解题有多个切入点,多种方法.除高考评分参考外,第(1)问,可根据数列的构造过程求通项公式,如图1,由x2-2nx+y2=0得(x-n)2+y2=n2,曲线Cn是圆心为Cn(n,0)、半径为n的圆.作PnQn⊥x轴,垂足为Qn,则

cos∠PCnPn==,从而xn=OQn=OCn-CnQn=n-CnPn×cos∠PCnPn=,yn=CnPn×sin∠PCnPn=n×=.

第(2)问,左边不等式可根据xn的单调性证明,因为xn==1-单调递增,所以x1

sin=×OP×sin,因为∠AOB=≤<<,所以∠OPB>>∠AOB,PB

二、若干思考

1. 双基教学要增强模型意识.

双基教学通常比较关注知识点,包括重点、难点、关键点等,关注对知识点内涵的分析,帮助学生比较准确熟练地解决知识点组合的数学问题.这是最基本的要求,新课程还要求数学教学要培养学生“对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”,新课程高考综合题通常具有“建立数学模型→应用数学模型”的结构特征和解题要求.因此,双基教学要关注知识点,但不能只专注于知识点,要不断增强模型意识,用模型整合知识点,让学生经历“建立数学模型→应用数学模型”的全过程,用数学模型为学生理解数学和分析解决问题提供更强有力的支撑.

2. 双基复习要增强整体意识

双基复习都比较关注知识综合,但层次比较低——只构建具体知识网络,范围比较小——只重视单元知识综合.新课程采用模块结构螺旋上升地呈现课程内容,着力打破人为分割高中课程内容的思维惯性,促进课程内容的融合.新课程高考认为知识的整体性是切实掌握数学知识的重要标志,着力从学科整体意义的高度设计问题、考查学生的数学能力.因此,双基复习要从更大范围更高层次进行教学设计,更大范围是指将全部高中课程内容纳入具体复习的视野之中,使每次复习都具有向全部高中课程内容扩展的张力;更高层次是指将贯穿全部高中数学内容的主线——变量与函数、计算与算法、图形与直观、数据与统计等,落实到每个具体内容的复习之中,帮助学生以这些主线为线索,将全部高中课程内容融会贯通.

责任编辑罗峰