《立体几何》教学过程中值得注意的几个问题

王雅芳

摘要:在《立体几何》教学过程中值得注意以下几个问题:首先注重平面基本性质的教学,注意把空间图形的问题转化为平面图形的问题来解决;其次弄清立体几何与平面几何的联系;最后我们应该掌握立体几何中常见问题及其常用的处理方法。

关键词:立体几何;平面几何;注意事项

立体几何教学的目的主要是让学生形成空间概念、培养学生的空间想象力并掌握空间图形的重要性质,从而掌握一些简单立体图形的画法以及距离、角、表面积、体积的计算方法。教学中除了揭露教材的内在联系,线线、线面、面面的位置关系,以及柱、锥、球的性质进行归纳总结、对比分析外,还需注意以下几个问题。

一、注重平面的基本性质的教学,注意把空间图形的问题转化为平面图形的问题来解决

平面基本性质是将立体几何问题转化为平面几何的理论依据,它是立体几何的基础。教学中教师不仅应让学生熟悉掌握这些性质,更要通过实例巩固和应用这些性质。平面图形是空间图形的基础,空间图形是平面图形的发展,它们之间有着千丝万缕的关系。要解决空间图形问题最终要归结到解决平面图形中去进行。如推导多面体的表面积公式、旋转体的侧面积公式等都是立体图形转化为平面图形的典型例子。

二、弄清立体几何与平面几何的联系是学好立体几何的关键

立体几何与平面几何在体系上都是欧几里得公理体系,在内容上都是研究图形的位置关系、数量关系,在方法上都是演绎推理的方法。因此,平面几何与立体几何诸多方面存在一致性,才有了用类比方法通过平面几何来研究立体几何的可能性。

(一)定义之间的类比。如:“角与二面角”。角是指从一点出发的两条射线所组成的图形。二面角指的是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。再如“圆与球”。平面上与定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。空间中与定点的距离等于定长的点的集合叫做球。

(二)定理之间的类比。如:平行三角形一边且与其他两边相交的直线所截得的三角形与原三角形相似,并且它们的面积比等于高的平方比;棱锥被平行于底面的平面所截,则截面与底面相似,并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比,从而可推出所截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于它们高的立方比。

需要指出的是类比的方法属于假设,类比的结论若没有根据则不能用。但类比能使人开阔思路、活跃思维,由平面图形所在的二维空间到立体图形的三维空间进行类比会使我们感知顺畅,遇到问题时办法也会多样。

三、立体几何中常见问题及其常用的处理方法

(一)关于证明方面。(1)反证法是数学中常用的一种证题方法,它在立体几何中占有重要地位。所以教师一定要让学生了解反证法的实质,即由假设命题结论的虚假推出与已知或定理、公理相矛盾的事实,从而证明命题的结论是正确的。这种方法常常用来证明一些由已知证结论很难解决的问题。(2)由于线线、线面、面面的平行与垂直是立体几何的主要内容,因而应通过例题和练习使学生理解并掌握下列常用的证题思路。证两直线平行常证这两直线都与第三线平行;证一直线与一个平面平行常证这直线与平面内的一条直线平行;证两直线垂直常证一条直线垂直另一条直线所在的平面,或用三垂线定理及其逆定理;证两平面平行常证一个面内的两条相交直线平行于另一个平面;证一直线与一个平面垂直常证这直线与平面内相交两直线垂直;证两平面垂直常证一个平面经过另一个平面的一条垂线。

(二)关于计算方面。(1)求角和求距离的问题。平面几何是立体几何的基础,因而立体几何问题往往要转化为平面几何问题去处理,特别是在空间求角和求距离问题,要让学生体会这一思想具体的有如下三种方法,即平移法、截面法、射影法。如求异面直线间的距离除了定义法外还可以过其中的一条直线作另一条直线的平行平面,将问题转化为线面平行间的问题;求异面直线成的角还可以过一直线上一点作另一直线的平行线将问题转化为相交两直线所成的角;二面角的问题关键在于找到它的平面角,找平面角除用三垂线定理(逆定理)外,还可以通过作棱的垂面而得到;线面成角的问题在于找到线在平面内的射影。(2)折叠问题。折叠问题是将平面图形问题转化为空间图形问题,它是培养学生空间想象力很好的练习。解决这一问题需注意以下几方面的问题:除画好折叠后的空间图形外还要画出原来的平面图形;找出折叠后那些元素发生了变化,那些元素没有发生变化;折叠后的图形中元素与折叠前图形中的元素之间关系。

3.关于画图方面。我在长期的教学活动中发现有许多学生存在这样状况,虽然立体几何学完了,可是画出的图立体感不强,也就是空间感不足。分析其原因除了空间观念不强、立体感差以外,另外就是受平面几何画图技术的影响。诚然,画图得好坏并不一定影响问题的解决,但图画得好无疑对思考、分析问题有很大的帮助,对初学者尤其如此。对如何画好立体图形,笔者有如下几点体会:(1)充分理解题意后再考虑先画谁、后画谁、再画谁,一般来说可以先画面、后画线、再画点。(2)为了立体感强、便于思考,可以按“正的画斜的,斜的画更斜的”进行。如:正方形画成平行四边形;正三角形画成斜三角形;而斜三角形可以画成更斜一些的三角形等。

最后需要说明的是,以上只是立体几何教学中常用的一些方法,而非唯一方法。如:求线面之间的距离还可以用等积法、极值法等等。以上所述也仅仅是我在教学中的点滴体会,不妥之处敬请批评指正。