函数图象中体现的部分辩证观点

董应甫

在初三代数的函数及其图象中,蕴含的辩证观点极为丰富。这一章教学内容的最大特点是“变”:变化、变量、运动,正如恩格斯所说的“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了。”

一、常量与变量

辩证法认为,世界上的万事万物,都是相互联系、运动、变化和发展的。常量,是相对于某一过程或另一个变量而言的。绝对的常量是没有的。因为物质的运动是绝对的,静止是相对的,故物动则变。既然如此,相对的常量是有的,绝对的常量是不存在的。因此,在教学过程中,为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系,不妨取如下实例。(1)匀速直线运动中,速度是常量,时间与路程均为变量;且人在实际运动的过程中,绝对的匀速运动是没有的。例如在一个学生骑车回家这一日常易见的运动过程中,也免不了加速、减速、刹车等情况。(2)电影院里统计票房收入,对某一个场次和座位类别而言,票价是常量,而售票张数和收入均为变量;但相对于某个较长时间间隔而言,由于演出的内容、种类、档次的不同,其票价仍是一个变量。(3)某日或连续几日测量某同学的身高,可以近似地看作常量;但是此同学的身高,如果从一个较长时间去看,则又是变量了。

教学实践表明,要使学生认识常量与变量这一辩证关系,就必须多形式、多角度、多层次地予以阐释。

二、运动与静止

根据人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平,我们可结合教材中的具体教学内容,引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。

例如,我们可以引导学生从教科书上看到的,在练习本或黑板上画出的y=x的图象去思考:这个图象表面上是静止的,但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘,可以发现:画成的图象表面上是完整的,其实是不完整的,因为它还可以向两方无限延伸,即不断运动、发展和变化,画出的函数图象永远只能是局部的,它只能是某个函数图象的一个象征物;同时这一例举也体现了部分与整体的辩证统一。

三、内容与形式

根据现行教材体系,初一上学期,学生学习了方程的有关概念后会认为,形如y=2x+1的式子表示一个二元一次方程;初三学生刚接触一次函数概念时,会认为y=2x+1表示一个一次函数;当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2x+1的图象后,又认识到y=2x+1还可以表示一条直线。从哲学的角度去看,y=2x+1表示一类事物的本质联系,其内容是极其丰富的,而表达这丰富内容的形式却是相同的。这正表明,同一事物在不同的外部条件下可有多种不同的外部表现形式,相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高,他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。

为帮助学生培养辩证唯物主义的世界观,我们应根据教材中相关的教学内容,结合学生的认识水平,有目的、有计划、有系统、有重点地组织教学内容,采用学生易于接受的教育、教学方法,适当渗透,系统推进,当渗透到一定程度时,再适时进行整理,适度地进行概括和抽象;日积月累,使这些教学内容在学生的头脑中系统地并深刻地扎下根去。这样,教学大纲中规定的培养辩证唯物主义观点的任务就可以顺利完成。

作者单位:河南省濮阳县一中