浅谈数学解题

顾仁岳

一、数学解题策略

数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法，其方法是有层次性的，解题策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识。常见解题策略有枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反等。数学教师应该加强对学生解题策略的指导和策略性知识的教学。二者相辅相成，缺一不可，离开了策略性知识的教学，学生的解题策略就无法构建，离开了解题，策略性知识就失去了载体。

二、数学解题教学的认识

数学解题教学中我们要认清，”解题教学的实质是什么?”这也是数学解题教学中的一个基本问题。因为对于一个训练有素的数学教师来说，形成一个正确、合理的解题教学认识，这对于从较高角度认识解题过程、弄清解题本质是非常必要的，也只有这样，才会在解题教学中掌握解题规律、形成解题经验、提高解题能力。

从数学教学看，由于数学本身具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性等特点，在教学中只单纯地讲解定义、定理和公式，很难取得理想的效果。因此，有经验的教师，总是通过富有启发性的问题来进行教学。通过解决各种类型的问题帮助学生加深对基础知识的理解，培养学生的逻辑推理能力，灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。可见，解题教学是数学教学过程的一个重要组成部分。

从数学学习看，要想真正搞清一个数学概念的实质，掌握定理、公式中的条件、结论的含义及它们之间的联系，只靠单纯地背诵是做不到的。数学学习较好的学生，都会以极大的热情去认真解题，通过解题进一步领会、掌握各种概念、定理、公式和法则，提高自己的技能技巧，巩固所学的知识。所以解题又是提高学习效果不可缺少的一个环节。总之，数学解题在数学学习、数学教学以及数学研究中都占有重要的地位。

事实上，解题就是解决问题，即求出问题的答案，这个答案在数学上也叫“解”，所以，数学解题就是求出数学问题的解。著名数学家、教育家波利亚认为”掌握数学就是意味着善于解题”，他还强调指出：”中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”。基础知识要通过解题实践来消化，基本技能要通过解题实践来形成，解题方法要通过解题实践来强化，数学思想要通过解题实践来培养，数学观念要通过解题实践来深化，思维素质要通过解题实践来优化，因此，解题教学在数学教学中举足轻重。

三、思考

综观有关解题研究的论述，无论是国外的研究还是国内的研究，在解题理论研究上较多，在解题教学实践上的研究较少，比如：一道题我们该如何教?为什么这样教?我们应教给怎样的学生?这些方面研究较少。

1解题教学研究中存在的问题

(1)有不少人认为，随着数学内容的学习，数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生。解题理论的研究纯属多余。而来自学生的情况却是：许多人学了课本内容却不会解题，还有的人解了许多题却说不清思路。可见，再丰富的经验也无法代替理论，缺乏理论指导的实践常会流于盲目。

(2)有些传统题目十几年乃至几十年无任何改进，从这本书抄到那本书，局部上甚至有流行的错误。解题研究多探讨”怎样解”，较少问”为什么这样解”，长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高与实质上的突破。因此，尽管有丰富的解题资料，却始终未上升为系统的解题理论。

(3)将解题的研究归结为应付升学的考查，解题的规律被简单化为”对题型”、”套解法”，由此产生盲目的”题海战术”。这种模式，将智力开发等同于技艺训练，以考试为目标，以押题、猜题为主要手段，即使获得了高分也扼杀了学生的能力。

2对数学解题研究的方向的思考

解题研究应该谋求和把握的两个发展方向，数学解题研究既不应局限于一招一式的简单模仿，也不应停留于技能技巧的反复训练，而应提升到数学思想和数学方法的理论高度，更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。在我看来，数学解题的深入研究应该从两个方向上同时一展开：其一是数学知识方向，即解题的每步前进得以依赖的数学规则是什么，如一招一式、技能技巧所能凭借的数学知识是什么，就有学者在研究解题时发现，一些所谓的解题技巧并不是高不可测、深不可究的认识对象，也不是妙手偶得、心血来潮的思维产物，在其背后其实就是不同数学知识之间的本质联系。其二是学习心理方向，即学生解题的心理过程究竟如何展开，如题目已知信息如何启动学生己有知识，如何调动学生解题经验?题目的已知信息与调用的知识经验如何相互作用?在其作用过程中受到哪些因素影响?情感因素在解题过程中是否维系、怎样维系解题过程的具体展开?

3数学解题教学的哲学思考

反思我们为什么教数学?怎样教数学?教给学生些什么?我们知道波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1％，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师、科学教师等)约占29％，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70％，他指出数学教育应当符合于两个原则：

“第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学。”

“解数学题的能力，当然，依赖于某些有关的数学知识，除此而外，它还有赖于某种有益的思维习惯，某种一般性的我们在日常生活中称之为常识，的东西。”这种有益的思维习惯与常识，对于所有的学生(包括将来不用数学的人)，都是非常重要的，是应当具备的素质。而这，只有通过解题才能成为学生自己的东西。

对于仅占1％的未来的数学家，”将他们发掘出来是一件最重要的事情，假如他们选择了一项错误的职业，那么他们的才能(现代社会在很多方面需要他们)将遭到浪费”，”中学教师对这1％能做到的最重要的事就是唤起他们数学上的兴趣”，”解题便是通向数学的一条最重要的道路”。

正因为此，我们教师就应经常向学生提出以下的三个问题：你现在在干什么?(你能否时此作出精确的描述?)你为什么要这样做?它事实上起到了什么样的作用?

由此揭示中学数学解题教学的本质。数学解题教学究竟用什么方法?按照怎样的途径展开?