硬币与巧克力——需求的“陷阱”

陈　凯　王　卿

小王为即将到来的游艺会准备抽奖游戏,他有一个好主意,让每个抽奖者扔硬币,正面朝上则抽到白巧克力,反面朝上则抽到黑巧克力。有趣的是,如果抽到的是白巧克力,就被允许再次抽奖,而抽到黑巧克力的,就直接“Game Over”!但让小王有点困惑的事情是,他是不是应该多购买一些白巧克力作为奖品呢?

假如稍微了解一点概率学知识的话,应该能很快想到答案。若是对概率学一无所知,那么用简单的程序代码也能得出结论:不同巧克力分发出去的概率总是趋近于5比5。不过下面的三个问题,就要费一点脑筋来解决了。

问题1:假如奖品都已分发出去,那么可以想见的是,有些人手里拿到的白巧克力更多些,而有些人拿到的黑巧克力更多些。但究竟是拿到白巧克力的人多,还是拿到黑巧克力的人多呢?虽然这个问题念起来比较拗口,但用逻辑推理,解决起来并不是很困难。我相信大家能够编出程序验证自己推理的结果。

问题2:小王除了购买白巧克力和黑巧克力外,还准备购买一批杏仁巧克力作为惊喜奖。首先,仍然按上述抽奖规则分发白巧克力和黑巧克力。若抽奖者拿到的是白巧克力,以白巧克力的数量为n,计算出2n,得出的结果便是向该抽奖者发放杏仁巧克力的数量。例如,图1中第一位抽奖者的巧克力序列是“白白黑”,那么他就可以获得4颗杏仁巧克力;而图1中最后一位抽奖者的巧克力序列中有五块白巧克力,那么她就很幸运地获得了32颗杏仁巧克力。可对于采购奖品的小王来说,一方面,要避免奖品不足的尴尬;另一方面,又不能买太多的奖品导致浪费。究竟应该准备多少颗杏仁巧克力作为奖品?小王十分困惑。你能不能通过编写程序,帮助小王计算出每个抽奖者可能获得的杏仁巧克力的平均值呢?

问题3:小王更改了游戏规则,假如抽奖者可以持续扔硬币,直到其获得的巧克力产生“白黑”的序列,或是“白白”的序列,则“Game Over”!举例说,可能产生图2中的“黑黑黑黑白白”序列,也可能产生“黑黑黑黑白黑”这样的序列。究竟是用“白黑”还是“白白”作为游戏结束标志,由抽奖者事先决定。那么抽奖者应该选择哪一种结束标志,才能使自己尽可能多地获得巧克力呢?图2所示是小王制作的程序,从窗体的列表中看,每一行序列都在出现“白白”或“白黑”模式的时候结束,小王认为,两种不同的序列获得的巧克力总数基本持平,所以抽奖者选择哪一种结束标志都是无所谓的。可是请注意,其实不用看代码,只要审视列表中的数据,就能猜到此程序代码的思路是有问题的,问题出在哪里呢?(答案在本期找)