方程根的存在判别

翟玉玲

【摘要】多项式的讨论是代数学中的一项重要内容。本文主要介绍了多项式方程根的一种简便判别方法。

【关键词】多项式 根 代数

多项式求解大约可以分成有没有解、如何求解两部分,知道有根再求根才有意义。代数学基本定理解决了根的存在性问题,对此定理的证明以代数方法居多,虽直观性强,但计算量大、冗繁、复杂。下面给出一种简便的分析学证明方法。

定理:任意一个n阶方程a₀zⁿ+a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n(a≠0)(*)有且只有n个根(n重根就算是n个根)。

证明:令f(z)=a₀zⁿ,φ(z)=a₁z^n-1+……+a_n-1z+a_n,当z在充分大的圆周c:|z|=R时,有|φ(z)|≤|a₁|R^n-1+……|a_n-1|R+|a_n|＜(|a₁|+……|a_n|)R^n-1＜|a₀|Rn=|f(z)|

由儒歇定理即知:在|z|＜R内,方程(*)与a₀zⁿ=0有相同个数的根。而a₀zⁿ=0在|z|＜R内有一个n重根z=0,因此(*)在|z|＜R有n个根。另外,在|z|=R上或其外部,任取一点z₀,则|z₀|=R₀≥R,则|a₀z₀ⁿ+a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀z₀ⁿ|-|a₁z₀^n-1+……+a_n|≥|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|R₀^n-1+……+|a_n|)＞|a₀|R₀ⁿ-(|a₁|+……+|a_n|)R₀^n-1＞|a₀|R₀ⁿ-|a₀|R₀ⁿ=0。这说明原n次方程在圆周上及其外部都没有根。所以,原n次方程在z平面上有且只有n个根。

例:求证:z⁷+z³+12=0的根全在圆环1＜|z|＜2内。

证明:取f(z)=12,φ(z)=z⁷-z³,易于验证在|z|=1时,有|f(z)|＞|p(z)|。

由儒歇定理可知:p(z)=f(z)+φ(z)=z⁷-z³+12在单位圆内无零点。

又在圆周|z|=2上,|12-z³|≤12+|z³|=12+8=20＜128=27=|z⁷|

故由儒歇定理得,方程z⁷+z³+12=0的7个根全部落在1≤|z|＜2上。

但当|z|=1时,|z⁷-z³|=|z³||z⁴-1|≤|z|3(|z⁴|+1)=2,|z⁷-z³+12|≥12-|z⁷-z³|≥12-2=10＞0。

故方程的根全在圆环1＜|z|＜2内。

【参考文献】

1、张贤科、许甫华:高等代数学[M],北京:清华大学出版社,1998

2、Berberia_n﹒K﹒Linear algebra[M]﹒Oxford:Oxford Univ﹒press,1992

3、姚允龙:数学分析[M],上海:复旦大学出版社,2002.8