带电粒子在高考中的“偏转”

张　勇

做适量习题是物理学习过程中的重要环节之一。在解答习题时，重视典型高考题的演变，即对原有习题的某个条件、假设或环节进行变化、引申和拓展，可让我们去发现一些高考题之间的共同本质。

带电粒子在电场和磁场中的偏转是近年高考的热点之一。2008年各省高考试题中许多计算题都涉及带电粒子的偏转。如2004年全国卷的第24题，在近五年的高考题中与之类似的题目一再出现。

原型

（2004•全国） 如图1所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝-2h处的P3点。不计重力，求：

（1）电场强度的大小。

（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。

（3）磁感应强度的大小。

解析 粒子从P1处飞进电场，在不计重力的情况下受电场力向下，粒子做类平抛运动，飞进磁场后做匀速圆周运动，这是简单的两种运动相结合的题目。由2OP1=OP2＝2h容易想到运用类平抛运动方法解答，得出进入磁场时的入射角，这为画出粒子在磁场里的轨迹提供了必要条件，从而得出粒子的轨道半径。

解：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图２所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有：

qE＝ma①

v0t＝2h ②

at2=h③

由①②③式解得

E=④

（2）粒子到达P2时速度沿x轴方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y轴方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有

v21=2ah ⑤

v=⑥

tanθ=⑦

由②③⑤式得

v1=v0⑧

由⑥⑦⑧式得

v=v⑨

θ=45° ⑩

（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：

qvB=m

r是圆周的半径，此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得

r＝h

由⑨可得

B=

从题目来看：还有很多可以进一步探讨的余地，比如利用已知条件还可以求出进入磁场时的速度，从而可以求P1到P2的电势差，利用圆周运动周期公式及运动学公式可以求出整个运动的时间。

相关链接之一

（2008•天津） 在平面直角坐标系xOy中，玉象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图3所示。不计粒子重力，求：

（1）M、N两点间的电势差U。

（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r。

（3）粒子从M点运动到P点的总时间。

解析 本题几乎可以看成是2004年全国卷24题的重考，情景完全相同，只是由于给出的条件在数值上有所差异，在解题时轨道半径稍微难找一点，其他基本相同。

解：（1）设粒子过N点时的速度为v，有=cosθ

∴ v=2v

粒子从M点运动到N点的过程，有

qU=mv2－mv20

解得：U=

（2）粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，如图4所示，有qvB=

r=（3）由几何关系得：ON=rsinθ

设粒子在电场中运动的时间为t，有ON=vt

得：t=

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=

设粒子在磁场中运动的时间为t，有t=T

得：t=

t=t+t

t=。

相关链接之二

（２０07•全国）如图5所示，在坐标系xOy的玉象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用，试求：

（1）粒子经过C点速度的大小和方向。

（2）磁感应强度的大小B。

解析 本题是压轴题，找粒子在磁场中运动的轨道半径时显得比较麻烦，利用的数学知识也较前两题稍微复杂一点，但问题情景并无本质区别，只是将磁场的范围加大，要求考生对空间关系处理和定量表达更复杂一点。

解：（1）用a表示粒子在电场作用下的加速度，有

qE＝ma①

加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

h＝at②

l＝vt③

由②③式得v＝l ④

设粒子从Ｃ点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量v＝ ⑤

由①④⑤式得

v＝＝⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

tanα＝⑦

由④⑤⑦式得α＝arctan ⑧

（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有

qvB＝m⑨

如图6所示，设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有PC＝PA＝R。用β表示PA与y轴的夹角，由几何关系得

Rcosβ＝Rcosα＋h ⑩

Rsinβ＝l－Rsinα

由⑧⑩式解得

R＝

由⑥⑨式得

B＝

相关链接之三

（2008•宁夏）如图7所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。有一质量为m，带电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角为φ，A点与原点O的距离为d。接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。不计重力影响。若OC与x轴的夹角也为φ，求：

（1）粒子在磁场中运动速度的大小。

（2）匀强电场的场强大小。

解析 本题没有给出入射点的坐标，解题的切入点就改为了磁场中的运动轨迹。

解：（1）如图8所示，质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上。依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线O′A，与OC交于O＇。由几何关系知，O′A垂直于O′C，O′是圆弧的圆心。设圆弧的半径为R，则有

R=dsinφ①

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qvB=m ②

将①式代入②式，得

v=sinφ③

（2）质点在电场中的运动为类平抛运动。设质点射入电场的速度为v0，在电场中的加速度为a，运动时间为t，则有

v0＝vcosφ ④

vsinφ＝at⑤

d=v0t ⑥

联立④⑤⑥得

a= ⑦

设电场强度的大小为E，由牛顿第二定律得

qE＝ma⑧

联立③⑦⑧得

E=sin3φcosφ ⑨

综上所述，高考物理计算题虽然比较难，每年高考中会出现许多新题型，但在考卷中所占比例并不大。大量的题目仍能从过去的考题中找到相近甚至相同的情景。我们复习时有必要对高考典型题目作细致分析，从不同角度去审视这些问题情景的可变性和设问角度的开放性，做一道题，会一类题，达到以少胜多，提高复习成效。