深化概念教学 提高教学质量

赖中能

[摘 要]概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体。搞好概念教学是实现知识传授和能力培养的重要环节，是提高教学质量的一个重要方面。本文结合教学实践，探讨了深化概念教学，提高概念教学的有效性，进而提高高中数学教学质量的问题。

[关键词]数学概念 有效性 方法

数学是由概念与命题等内容组成的知识体系，它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言，因此，概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心。正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，并抓住有限的概念教学的契机，完全可以做到提高大多数学生的数学素养。从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向：一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊：二是有的学生对基本概念虽然重视，但只是死记硬背，没有真正理解透彻，只有机械的、零碎的认识。久而久之，就严重地影响了对数学基础知识和基本技能的掌握、运用。比如，有同学认为(x∈[0，2 ])是偶函数，有的同学认为函数 与Y轴可以有多个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低取决于对数学概念掌握的程度。那么，作为教师应如何进行数学概念的教学呢？

一、在体验数学概念产生的过程中认识概念

数学概念的引入应从实际出发。通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，并形成感性认识。通过对一定数量的感性材料的观察、分析，还可以提炼出感性材料的本质属性。学生如能在教师创设的情景中去探索、去发现，那么，他们在获得概念的同时，还能培养自身的创造精神。概念引入时，教师要鼓励学生大胆猜想，即让他们依据已有的材料和知识进行符合一定经验与事实的推测性想象，以经历数学家发现新概念的最初阶段。在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

例如，在立体几何中，教学异面直线距离的概念时，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。但这种教学方法的效果不是很好。因此，在教学时，可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离、点到直线的距离、两平行线之间的距离等，并引导他们思考这些距离有什么特点。经过思考后，学生发现共同的特点是最短与垂直。然后，再启发他们思考在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的吗？如果存在，应当有哪些特征？于是经过共同探索，学生得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认了这样的线段的存在，在此基础上自然就给出了异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生训练了概括能力，还尝到了数学发现的快乐。

二、加强新旧数学概念之间的联系

1.在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念。新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，这就需要分成若干个层次，并逐步加深提高。如三角函数的定义就经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；任意角的三角函数的定义。由此概念就衍生出：①三角函数的值在各个象限的符号；②三角函数线；③同角三角函数的基本关系式；④三角函数的图象与性质；⑤三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数的教学中可谓是重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容，并起着关键作用。重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延等都有利于学生对概念进行透彻理解。

2.在寻找新旧概念之间的联系的基础上掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数，等等。在教学中应善于寻找，并分析其联系与区别。再如，函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；另一种是高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，可用图象、表格、公式等表示。所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，才真正抓住了函数的本质属性，且更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系的本质也一样，只是叙述的出发点不同，所以两种函数的定义、本质是一致的。

三、数学概念教学要注重对学生思维品质的培养

如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到，并必须解决的问题。现以教学“两条异面直线所成的角”为例，谈谈在各个阶段概念教学中培养学生思维能力、优化思维品质的做法。

1.呈现概念背景，培养思维的主动性。学生思维的主动性表现为对数学充满热情，以学习数学为乐趣，并在获得知识的过程中产生一种惬意的满足感。以正方体为例，让学生观察异面直线（呈现背景），使他们沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中，从而触发积极的思维活动。

2.创设求知情境，培养思维的敏捷性。思维的敏捷性表现在思考问题时，敏锐地感知，迅速地提取有效信息，并进行“由此思彼”的联想，从而果断、简捷地解决问题。

3.精确表述概念，培养思维的准确性。思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。新概念的引进解决了提出的问题，学生自己参与形成和表述概念的过程，并培养了抽象概括能力。如用相交直线的夹角刻划异面直线的夹角等。

4.解剖新概念，培养思维的缜密性。思维的缜密性表现为抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面、深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识（两异面直线所成角的概念完全建立）。在这个过程中，还渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。

5.运用新概念，培养思维的深刻性。思维的深刻性主要表现为理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，并准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围。在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。巩固深化阶段：当学生深刻理解了数学概念之后，应立即引导他们运用所学概念来解决“引入概念”时提出的问题（或其他问题），使学生在运用中巩固概念，并认识到数学概念既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。如此往复，使学生的学习过程成为实践——认识——再实践——再认识的过程，从而达到培养思维的深刻性的目的。

6.分析错解成因，培养思维的批判性。思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，并善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动。深化阶段：对数学概念的理解要防止片面性，在运用概念时，除了要用典型的例子从正面加深学生对概念的理解，以巩固概念之外，还应针对某些概念的定义，指出一些容易被忽视的关键性字眼。如某些概念的条件比较多，学生常常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，从而不易区别，等等。利用反例，可以加深学生对概念的内涵与外延的理解，培养思维的批判性。

四、针对数学概念的特点采用灵活的教学方法

针对不同概念的教学，要在采用不同的教学方法和模式上下功夫。概念教学主要是要完成概念的形成和概念的同化这两个环节。新知识的概念是学生初次接触或较难理解的，所以在教学时应先列举大量具体的例子，从被学生的实际经验所肯定的例证中，归纳出这一类事物的特征，并与已有的概念加以区别和联系，从而形成对这一特性的一种陈述性定义，这就是形成一种概念的过程。在这一过程中，还要与学生认知结构中的原有概念相互联系、作用，以领会新概念的本质属性，并获得新概念，这就是概念的同化。在进行数学概念教学时，最能有效促进学生创新能力的主要是对实例的归纳及辨析。通过对实例的归纳和辨析，对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，从而完成概念形成的两个步骤。

依据数学概念的形成，笔者设计概念教学的第一种模式如下：问题情景（抽象）—新概念分析[内涵、外延、正（反）例]—应用—反馈，具体实施步骤是：①构建问题情景，创设心理环境。针对新概念构建相应的问题情景，隐含新概念所描述的事物的本质，并观察、认识到提出新概念的必需性和合理性，从而积极、大胆地进行思维。②考察本质属性，抽象形成概念。分析问题情景，概括出它所反映事物的共同属性，由此逐步抽象，并提出新概念。③设计多向分析，深化概念理解。对新概念可从揭示内涵、外延、定义方式、合理性（和谐性）、正反例证等方面分析。④及时测试、反馈（应用），并评价思维训练。

数学概念是从一些具有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延。根据概念的内涵和外延，笔者设计概念教学的第二种模式如下：已有概念（类比、迁移）新概念—比较（共性、异性）—创造（形成新概念体系）—应用—反馈。其实施步骤如下：①精选已有概念，设置问题情景。数学概念体系的形成过程具有一定的层次性，如坐标法经历了直线—平面—空间。教学中应选择最近的原概念，通过升维、加权、反向思考等进行设置。②拟定类比方案，再迁移形成概念。考察概念情景的变化，拟定提出新概念的类比方案（概念诱发、类比途径、类比可能的结果、验证），并加以完善。③重比较，促创造，强化概念的理解。对类比、迁移提出的新概念，需要与问题情景中的已知概念进行比较，弄清与原概念的共性，与已知概念的异性。④及时测试反馈，评价思维训练。以上两种针对数学概念的教学方法与模式需要教师对概念进行全面理解与合理把握，使学生透彻、牢固地掌握数学概念是提高数学教学质量的关键所在。作为一个数学教师，首先应该认识到数学概念教学同加强了数学基础知识教学，并培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力，此外，还发展了学生的逻辑思维和空间想象能力的关系。因此，要在思想上重视它，这样，教学时的目的就会更加明确，且只要方法对头，就不会造成为概念而教学，也就不会扼杀学生的主动性。

五、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

当数学概念形成之后，就可以通过具体例子说明概念的内涵，认识概念的“原型”，并引导学生利用概念解决数学问题，使他们认识到概念在解决问题中的作用。例如，当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后，就可以进行向量的坐标运算，并提出问题：已知平行四边形的三个顶点的坐标，试求另一个顶点的坐标。问题提出后，学生展开了充分的讨论，不少学生还运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学的向量坐标的概念，把点的坐标和向量的坐标联系起来，从而巧妙地解答了这一问题。

学生通过对问题的思考，尽快投入到新概念的探索中去，从而激发了他们的好奇以及探索和创造的欲望，使之在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。

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