几何教学中学生思维能力的训练例谈

乔兴文

摘要:《数学课程标准》指出:“义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面持续、和谐地发展”,“使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”本文结合《三角形内角和定理》一课谈谈在几何教学中进行创新思维能力训练的一些做法:一、在几何定理证明中引发、调动学生思维的积极性,具体做法为:利用定理证明的必要性,启动学生思维;利用定理证明与发现的联系,激发学生思维;二、在定理证明的思维中,探求开发学生的思维能力,具体做法为:遵循学生认知规律,深化学生思维;变换角度,激发学生思维;创设民主的教学氛围,鼓励学生创新思维。

关键词:几何教学思维能力训练 例谈

全日制义务教育《数学课程标准》指出:“义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面持续、和谐地发展”,“使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”在初中数学教育教学中,我们进行了一些有益的探索。本文结合《三角形内角和定理》一课的教学,谈一谈对学生进行思维能力训练的做法,以供读者参考。

《三角形内角和定理》是学生接触较早的定理之一,其内容和应用早已为学生所熟悉。因此,教学中要重点解决的问题是定理的证明,在定理的证明中,学生将首次接触和应用辅助线。于是在定理证明中“为什么要添加辅助线”和“如何添加辅助线”成为重中之重。通过“三角形内角和定理”的证明的具体教学实践,感受几何证明的思想,让学生体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用,感悟数学中数形结合的思想,训练学生的创新思维能力,成为几何教学中探索的重要内容。

一、在证明几何定理的实践中,引发调动学生思维的积极性

1.引导分析几何定理证明的必要性,启动学生思维

在讲授《三角形内角和定理》一课时,首先让学生通过剪裁、拼接的方法,将三角形的三个内角拼成一个角,并量得该角度数,得出三个内角的和为180度。然后引出定理证明的必要性:(1)测量会产生误差,通过观察、度量、猜测得到的结论不一定正确;(2)剪裁、拼接有限个三角形,还不足以说明所有三角形都有同样性质 ;(3)测量一些三角形内角和等于180度,可以作为数学发现的依据,但还不是数学证明,利用这种必要性,使学生产生疑虑,有疑虑,才能产生认知冲突,进而激发认知要求。

2.利用定理证明与发现的联系,激发学生思维

讲课时,先从学生已有生活经验入手,让学生体会生活中桥梁的重要性,同时引出搭建桥梁的注意事项,然后把生活中的桥梁向数学中的桥梁引申,借助剪裁、拼接三角形三个内角的过程分析,启发引导学生初步体会辅助线在几何证明中的桥梁作用。指导学生分析命题的条件和结论,条件相当于已知,结论相当于未知,指出已知和未知相当于河两岸,辅助线是连接两岸的桥梁。提问:“何处能提供180度”从而引发学生思维的发散和创新,学生容易想到“平角为180度”“平行线同旁内角和为180度”。然后教师引导学生分析:(1)如何添加辅助线(即如何架桥),明确添加辅助线的目的是将三角形三个内角向一个平角或互补的两个角转化。(2)在哪儿能添加辅助线(即在哪能架桥),教师组织学生剪裁、拼接三角形的三个内角,验证三角形内角和为180度,很容易得知:可以选择三角形的顶点、边上或三角形内部、甚至三角形外部。教师应注意分层次引导学生自己发现地点选择的多样性。学生不仅容易将三个内角移到一个顶点上,也能将三个内角移成平行线的一对同旁内角。此时,抓住了定理证明的实质,这两种思路都是利用平行线把分散的角相对集中起来,因而这两种思路可以相互转化,便把学生的思维引向了一个较高境界,引发了学生的自主探索。(3)辅助线有几种添法(可架几座桥),从地点上看可以有若干种,同时对平角或互补的选择又有所不同。(4)哪种最简捷(架哪座桥最省),让学生体会数学中最优化思想,培养学生学数学,用数学的意识。

二、在探求定理证明思路中开发学生的思维能力

1.遵循认知规律,深化学生思维

学生通过回忆对三角形的三个内角的剪裁、拼接,很容易得出图形.然后引导学生按图形补画线(辅助线),表现了学生会对直观模型进行抽象提炼,会对新图形进行严格的数学描述,学生的理性思维在实验变论证、感性变理性、直观变抽象的飞跃中得到了发展。教师指出,新补画的线为辅助线,即联系命题的已知和未知的桥梁。那么能不能通过只移一个内角得到三个内角和为180度,进而证明三角形内角和定理呢?得到从而引领学生掌握辅助线添加方法的多样性,深化学生思维。

2.多角度变换,激发学生思维

学生回顾剪裁、拼接三角形三个内角为一个平角的过程,成功地找出了定理证明的思路后,及时引导学生找出在三角形边上或三角形内部、外部添线的方法。继续探索引出利用两平行线同旁内角互补也可以证明,启发学生对比发现哪种方法最简捷,体会数学中的最优化思想,培养学生学数学、用数学的意识.

同学们经过比较得知,过C作CE平行AB,运用平行线内错角相等、同旁内角互补,证明三角内角和定理过程最简便;如果先延长BC,再过C作CE平行AB,运用平行线内错角相等、同位角相等及平角定义,证明三角形内角和定理,图形直观,思维简便。然后学生试写出完整的证明过程。经过多方面探讨,学生的发散思维能力得到了开发,学生探求定理证明的思路得到拓展,教学活动也达到了丰富多彩。

3.在民主的教学氛围中,鼓励学生创新思维

民主的教学作风,为学生提出问题,暴露思维过程提供了良好的教学氛围,在学生探索过程中,有的学生发现,作∠ACE=∠B证不出∠ECD=∠A,教师可引导学生从反面理解不成功的理由,是这样做得不到平行线。当学生提出作∠ACE=∠A再证∠ECD=∠B时需要∠ACD>∠A,(由于延长BC得到了∠ACD,默认了“外角大于不相邻的内角”)。引导学生探究:从图上看无论怎样做CE均在∠ACD内部,若CE在∠ACD外部,则CE必通过△ABC内部与AB相交,这与CE平行AB矛盾。则CE一定平行于AB。进而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。这样添加辅助线这个难点在讨论探究中得到化解,一种富有创造性的思路在学生认识的不断修正和完善中产生,经过训练,创造性思维能力得到了有效培养。

参考文献:

《义务教育数学课程标准》教育部编 2001年北京师范大学出版社

《新课程理念下的创新教学设计初中数学》孔凡哲编 2007年东北师范大学出版社

作者单位:河北省卢龙县双望镇中学