矩阵空间上保弱伴随矩阵的线性映射

张平

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

矩阵空间上保弱伴随矩阵的线性映射

张平

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

为了刻画矩阵空间上保弱伴随矩阵的线性映射f,引入了保弱伴随矩阵的概念,以矩阵的弱伴随矩阵为不变量,得到了当n≥3时数域F上从线性矩阵空间Mn×n(F) 到Mm×m(F)的保弱伴随矩阵的线性映射f的形式.

线性保持问题;单射;伴随矩阵;弱伴随矩阵;秩

1 引言

近40多年来,线性保持问题的研究一直是矩阵理论中普遍关注的问题[14].文[1]给出了当F是一个无限域,f/=0,n=m≥3时,f保伴随矩阵的形式.文[2]将域F推广到任意的域时,给出了f保伴随矩阵的形式.本文引入了f保弱伴随矩阵的概念,刻画了从Mn×n(F)→Mm×m(F)的保弱伴随矩阵的线性映射f.本文以下约定,用Mm×n(F)表示数域F上的m×n的线性矩阵空间,用Eij表示在(i,j)为1,其余为0的矩阵,In表示F上的n×n的单位矩阵,用F∗,[1,n]分别表示F中的单位元,集合{1,2,…,n}.用R(A)表示矩阵A的秩.规定

2 预备知识

为了证明主要结论需要下面几个定义和引理.

定义2.1[5]设A=(aij)n×n∈Mn×n(F),Mji为矩阵A中元素aji的余子式,把矩阵

称为矩阵A的弱伴随矩阵.

3 保弱伴随矩阵的线性映射

本节假设n≥3,f是保弱伴随矩阵的线性映射,即对任意的矩阵A∈Mn×n(F),有

引理3.1下面三种情况是等价的:

(i)f≡0;

(ii)存在互不相同的s,t∈[1,n]使得f(Est)=0;

(iii)存在正整数k∈[1,n]使得f(Ekk)=0.

证明(i)⇒(ii)显然.

(ii)⇒(iii)选取k使得s,t/=k∈[1,n],令Xstk=In−Ess−Ett−Ekk,则根据引理2.3及引理2.5,有

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Linear operators preserving weak adjoint matrix between matrix spaces

ZHANG Ping
(College of Science,China Three Gorges University,Yichang443002,China)

In this paper,in order to characterize the linear operators on matrix spaces that preserve weak adjoint matrix,we introduce the definition of the preserving weak adjoint matrix and make use of the weak adjoint matrix as the invariant,and then obtain the form of the linear operators from the linear space of Mn×n(F) into Mm×m(F)over the number field F that preserve weak adjoint matrix,where n≥3.

linear preserver problem,injective map,adjoint matrix,weak adjoint matrix,rank

O151.21

A

1008-5513(2009)03-0573-06

2008-07-08.

湖北省教育厅重点科研项目(D200729002),三峡大学科学基金.

张平(1978-),硕士,助教,研究方向：算子代数.

2000MSC:15A57