二项分布参数多层Bayes和E Bayes估计的性质

王建华,毛娟

(1.华中科技大学数学与统计学院,湖北武汉 430074;2.武汉理工大学理学院数学系,湖北武汉 430070)

二项分布参数多层Bayes和E Bayes估计的性质

王建华1,2,毛娟2

(1.华中科技大学数学与统计学院,湖北武汉 430074;2.武汉理工大学理学院数学系,湖北武汉 430070)

讨论无失效数据下二项分布参数E Bayes估计和多层Bayes估计的性质,证明二项参数的多层Bayes估计和E Bayes估计渐近相等,且E Bayes估计值小于多层Bayes估计值.

二项分布；参数估计；E Bayes估计；多层Bayes估计

1 引言

在可靠性试验中,对高可靠性产品进行定时截尾试验,在规定的试验时间内往往没有样品失效,获得的数据为无失效数据.基于无失效数据的可靠性参数估计对高可靠性产品的可靠性研究具有重要的理论和应用价值[14].韩明博士对这一问题进行了系统的研究,所作专著《基于无失效数据的可靠性参数估计》是这一研究成果的总结.遗憾的是关于无失效数据的可靠性参数多层Bayes和E Bayes估计性质的三个命题(文[1]中命题2.1,命题3.1,命题6.1)未能给出数学证明,只给出数值算例说明.本文给出命题6.1的数学证明,其他命题的数学证明将另撰文给出．

设某产品的寿命分布类型是未知的,现从中随机抽取n个样品进行定时截尾试验,若在截尾试验时间段内有X个样品失效,又产品的失效与否是相互独立的,则X是一个服从二项分布的随机变量,于是有

其中0＜R＜1,R为产品的可靠度.

这样研究可靠度的非参数估计问题,就转化为研究二项分布(1)中参数R的估计问题. 若R的先验分布为Bata分布,其密度函数为

当0＜b＜1,a＞1时,π(R|a,b)为R的单调增函数,满足多层先验分布增函数构造法要求.尾部越细的先验分布会使Bayes估计的稳健性越差,因此在0＜b＜1时a不宜过大,设a的上界为c(c＞1为常数).超参数a和b的取值范围为区域D={(a,b)|1＜a＜c,0＜b＜1}. 设a的先验分布为(1,c)上的均匀分布,b的先验分布为(0,1)上的均匀分布,则在a和b独立时,R的多层先验密度函数为

R的多层Bayes估计为[1]:

定理1对二项分布(1),在无失效数据情形下,若R的多层先验密度函数由(3)给出,则在平方损失下,R的多层Bayes估计为

证明见文[1].

R的E Bayes估计为[1]:

定理2对二项分布(1),在无失效数据情形下,若R的先验密度函数由(2)给出,则有(i)在平方损失下,R的Bayes估计为

2 引理

引理1n为正整数,a和b为实数,当0＜b＜1,a＞1时,有

证明文[5]等证明了两个Gamma函数比的不等式

3 定理的证明

[1]韩明.基于无失效数据的可靠性参数估计[M].北京:中国统计出版社,2005.

[2]韩明.无失效数据情形可靠性参数的置信限[J].工程数学学报,2004,21(2):245-248.

[3]韩明.无失效数据情形可靠性参数的估计和调整[J].应用数学,2006,19(2):325-330.

[4]韩明.Pascal分布的参数估计[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4):510-515.

[5]Elezovic N,Giordano C,Pecaric J.The best bounds in Gautschi’s inequality[J].M ath.Inequal.App l.,2000, 3(2):239-252.

The property of hierarchical Bayesian and E Bayesian estim ation of binom iald istribu tion’s param eter

WANG Jian-hua1,2,MAO Juan2

(1.School of Mathem atics and Statistics,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;2.Department of Mathematics,College of Science,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

This paper researches the asym ptotic property of hierarchical Bayesian and E Bayesian estim ation of binom ial distribution’s param eter in zero-failure data.This paper gives theMathem atical p roof of that the E Bayesian estimation of binom ial distribution’s parameter is asym ptotic equal to its hierarchical Bayesian estim ation and E Bayesian estim ation of binom ial distribution’s param eter is sm aller than its hierarchical Bayesian estim ation.

binom ial distribution,parameter estimation,E Bayesian estimation,hierarchical Bayesian estimation

O212.8

A

1008-5513(2009)02-0223-08

2007-10-25.

王建华(1965-),副教授.研究方向:应用概率统计与金融数学.

2000M SC:62F12,62F15