一般混合似变分不等式的隐式迭代算法

万波,江晓涛,曹于忠

(重庆工商大学数学与统计学院,重庆 400067)

一般混合似变分不等式的隐式迭代算法

万波,江晓涛,曹于忠

(重庆工商大学数学与统计学院,重庆 400067)

对一般混合似变分不等式的若干隐式迭代算法进行了研究;利用一般混合似变分不等式与不动点问题和预解方程的等价关系,采用分裂技巧和自适应迭代技巧结合,提出了一个求解一般混合似变分不等式的新的隐式迭代算法；并证明了该算法在算子T 是g-伪单调连续的条件下收敛.

变分不等式；预解方程；自适应；隐式迭代

1 引言

一般混合似变分不等式是经典变分不等式的一种重要推广,在交通运输,金融,经济,最优化,市场平衡等实际问题中有着广泛的应用[17].在众多求解一般混合似变分不等式的算法当中,隐式迭代算法有着相当重要的作用.最近几年,文[1-3]先后提出了几种新的和改进的求变分不等式的隐式迭代算法.2007年,文[4]在文[3]中算法3.5的基础上利用投影技巧提出了一个求解一般变分不等式的非精确隐式迭代算法,该算法相对文[3]中隐式算法3.5而言,运用了自适应迭代技巧使得迭代参数ρ可以自动更好的调整;但是该算法的迭代条件需要算子T单调连续.2006年,文[5]利用投影技巧并结合分裂技巧,自适应迭代技巧给出了一个求解一般变分不等式的改进的经典隐式迭代算法.受文[5]的启发,文中利用预解算子并结合分裂技巧,自适应迭代技巧提出了一个新的求解一般混合似变分不等式的隐式迭代算法,该算法在推广文[5]结论的基础上;考虑到二元非线性泛函的存在,改进了文[5]中算法最后一步的迭代方向;通过求解一个二次函数的最大值找到了更合理的迭代步长并添加了松弛迭代因子使得自适应的迭代步长更完善.最后证明了该算法在算子T是g-伪单调连续的条件下收敛.众所周知,伪单调要比单调条件弱得多,因此降低了对条件的严格要求.

2 预备知识

设H是一个实Hilbert空间,其内积和范数分别为〈…,…〉和‖…‖,K是一个H中的非空闭凸集.T,g:H→H是非线性连续映射,ϕ(…,…):H×H→R∪{+∞}是一个关于两个分量都连续的二元泛函.现在考虑文[3]中所研究的一般混合似变分不等式问题:求u∈H,使得

3 算法及收敛性

在该部分,本文提出一个新的算法5,并利用文[2-3,5]中的技巧讨论了算法5的收敛性.引理3表明问题(1)和(7)等价.现在定义余函数

注1该算法和文[3]中算法3.3是不一样的.当ϕ≡0时,算法2、算法3就分别退变成文[5]中算法3.2和算法3.3.现在换一种角度来考虑算法3,可以认为由(11)式定义的g(y)是问题(1)的一个近似解,并且定义

[1]Noor M A.M ixed quasivariational inequalities[J].App lied Mathematics and Com putation,2003,146:553-578.

[2]Noor M A.Iterative methods for general m ixed quasivariational inequalities[J].Journal of Optim ization Theory and App lications,2003,119(1):123-136.

[3]Noor M A,Noor K I.On generalm ixed quasivariational inequalities[J].Journal of Op tim ization Theory and App lications,2004,120(3):579-599.

[4]Bnouhachem Abdellah.An inexact im p licit method for generalm ixed variational inequalities[J].Journal of Com putational and App lied Mathematics,2007,200:377-387.

[5]Noor M A.Pro jection-proxim al methods for general variational inequalities[J].J.M ath.Anal.App l., 2006,318:53-62.

[6]齐成辉,石超峰.广义集值变分不等式的一类新的外梯度算法[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(2):194-197.

[7]万波.广义集值混合似变分不等式的迭代算法[J].西南师范大学学报:自然科学版,2008,33(3):1-4.

Im plicit iterative methods for generalm ixed quasi-variational inequalities

WAN Bo,JIANG Xiao-tao,CAO Yu-zhong

(Mathem atics and Statistics College of Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China)

In this paper,we study several im p licit methods for solving general m ixed quasi-variational inequalites.It is well known that the general m ixed quasi-variational inequalities are equivalent to the fixed point prob lem s and the resolvent equations.Using this equivalence,combining sp litting methods and selfadaptive resolvent m ethod,we suggest and analyze a new im p licit iterative m ethod for solving generalm ixed quasi-variational inequalities.Thesemethods converge for g-pseudomonotone and continuous operators T.

variational inequalities,resolvent equations,self-adaptive,im p licit iterativemethods

O177.91

A

1008-5513(2009)02-0384-06

2007-04-23.

重庆市自然科学基金(CQSC(2007BA 2024)).

万波(1979-),讲师,研究方向：变分不等式及最优化算法.

2000M SC:49H 09,49J40