谈球面介质对光线的折射规律
2009-06-25王金聚
王金聚
1 原竞赛题及其解答
2008年9月举行的第25届全国中学生物理竞赛预赛卷的第19题是:
例1 如图1所示,一细长的圆柱形均匀玻璃棒,其一个端面是平面(垂直于轴线),另一个端面是球面,球心位于轴线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射。当光从平端面射入棒内时,光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a;当光线从球形端面射入棒内时,光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b,试近似地求出玻璃的折射率n。
原解答如下:
入射光的两条光线如图2所示。
α1、β1是从平面端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角;α2、β2是从球形端面入射的光线通过时的入射角和折射角。
根据折射定律有nsinα1=sinβ1(1)
sinα2=nsinβ2(2)
由几何关系有β1=α1+δ1(3)
α2=β2+δ2(4)
设球面的半径为R,注意到α1、α2、β1、β2都是小角度,故有
Rα1=aδ1(5)
Rα2=bδ2(6)
根据题目条件,(1)、(2)式可以近似表示成nα1=β1(7)
α2=nβ2(8)
由(3)~(8)式得
n=b/a
感想 此种解法用到的式子较多,且进行了较多的近似处理,学生不容易想到。另外,该解法中没有体现出球面介质对光线折射的普遍规律,让人觉得“意犹未尽”、没能实现“从特殊到一般”的思维飞跃。
2 球面介质折射的普遍规律
如图3所示,左、右两种介质的分界面是半径为R的球面,球心在O点。
设位于主光轴上有一点光源S,它射出一束近轴光线SP,如图中所示,经球面折射后交于主轴上的S′点,S′即为点光源S的像,SC为物距u,S′C为象距v。设光源一侧介质的折射率为n1,像S′一侧介质的折射率为n2,入射光线SP的入射角为i,折射角为r,OC为球面半径R,
∠PSO=α,∠PS′O=β,
由折射定律可知
sinisinr=n2n1(9)
在ΔPSO中,由正弦定理得
Rsinα=u+Rsin(π-i)=u+Rsini(10)
在ΔPS′O中,由正弦定理得
Rsinβ=v-Rsinr(11)
由(10)÷(11)得
sinβsinα=u+Rv-R•sinrsini(12)
在ΔPSS′中,由正弦定理得
PSsinβ=PS′sinα
因为SP、PS′是近轴光线,故α、β很小,所以有PS≈u,PS′≈v,所以
usinβ=vsinα,即
sinβsinα=uv(13)
将(9)、(13)式代入(12)得
uv=u+Rv-R•n1n2
整理可得
n1u+n2v=n2-n1R
这就是球面折射的成像公式。
我们还可以用同样的方法推导出如图4所示的情况,即球心在光源一侧的情况下,球面的成像公式为
n1u+n2v=n2-n1R
需要说明的是,这时(球心在光源一侧时)的球面半径R应取负值代入计算。
根据这一公式,原竞赛题的简捷解法如下:
解:由球面折射的成像公式
n1u+n2v=n2-n1R
根据题意,当光从平端面射入棒内时,有
n∞+1a=1-n-R(14)
光线从球形端面射入棒内时,有
1∞+nb=n-1R(15)
由以上(14)、(15)两式可得
n=ba
例2 如图5所示,一凸薄透镜的表面是两个完全相同的球面,球面的曲率半径均为r,透镜材料的折射率为n,当物体放在透镜的左侧时,研究由透镜右表面反射所形成的实像。不考虑多次反射,试问当物体放在何处时,可使反射像与物位于同一竖直平面内。
解析 根据题意,由物点发出的光线经透镜左表面折射后,再经透镜右表面反射折回,又经左表面折射而出,最后形成实像。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式,结合物与像共面的要求,就可求解。
如图6所示,物点S发出的光经透镜左表面折射后成像于S′:
设物距为u,象距为v,根据球面折射成像公式:
n1u+n2v=n2-n1R
这里空气的折射率为n1=1,透镜材料的折射率n2=n,因入射光由顶点射向球心方向,所以R取正值,代入公式有
1u+nv=n-1r(16)
这是第一次成像。
对凸透镜的右表面来说,前次像点S′是它的物点,由于是虚物,所以其物距u1=-v,经透镜右表面反射后成像于S′1,设像距为v1,如图7所示:由球面反射成像公式
1u1+1v1=1f=2r
将前面的数据代入得
1-v+1v1=2r(17)
这是第二次成像。
由透镜右表面反射所成的像点S′1又作为透镜左表面折射成像的物点S2,因为是虚物,所以其物距u2=-v1,如图8所示:
由球面折射成像的公式
n1u+n2v=n2-n1R
这时入射光一侧折射率n1=n,折射光一侧折射率n2=1,入射光由球心射向顶点,故R取负值,所以有
n-v1+1v2=1-n-r(18)
这是第三次成像,由(16)、(17)可解得
1u+nv1=3n-1r(19)
把(18)(19)式相加可得
1u+1v2=4n-2r(20)
为使物点S和像点S′2在同一竖直面内,这就要求将该关系代入(20)式可解得物距为
u=r2n-1
(栏目编辑陈 洁)