磁通量不变也会产生感应电流吗?

徐忠岳

根据法拉第电磁感应定律,当穿过导体回路的磁通量发生变化时,回路中才会产生感应电流。那么,看了下面的问题及其解答后,你是否会认为磁通量不变也会产生感应电流呢?

问题 如图1所示,用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属片制成半径为r的闭合金属圈。金属圈水平放在磁极的狭缝间,金属圈平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间,极间磁感应强度大小为B,其它地方的磁场忽略不计。金属圈从静止开始释放,其平面在下落过程中保持水平(不计空气阻力)。设磁场区域在竖直方向足够长,求金属圈下落的最大速度vm。(改编自2007年北京高考理综试卷第24题)

上述解答正确吗?下面我们换一种方法分析。

金属圈切割磁感线时产生的感应电动势为动生电动势,它可以看成是由洛伦兹力引起的[1],金属圈中自由电子受到的洛伦兹力的大小为:f=e(v×B)。

根据电动势大小的定义,金属圈产生的感应电动势大小等于单位电荷绕金属圈一周非静电力K对它所做功的大小,其中非静电力的大小就是单位电荷所受的洛伦兹力:

K=fe=v×B。

金属圈上某一小段上产生的感应电动势为:

dε=(v×B) •dl。

所以,整个金属圈产生的动生电动势大小为:ε=∮(L)(v×B)•dl=B•2πr•v。

得到的感应电动势大小和第一种解答的结果一样。对高中学生来说,有效切割长度l=2πr不是很难理解,最终得到的结论显然没什么问题。不过换个角度考虑,学生可能会产生这样的困惑:由于图1中磁感线与金属圈平面平行,那么下落过程中通过它的磁通量不变且始终为零,怎么会产生感应电流呢?可是,学生又找不出上述解答有什么不妥之处,难道法拉第电磁感应定律有误,磁通量不变也会产生感应电流吗?

学生的困惑主要来自于图1中的辐射磁场,他们往往想当然地把图1中的磁感线反向延长并交于一点,认为金属圈处于一个由中心向四周辐射的磁场中,所以他们会认为通过金属圈平面的磁通量为零。显然这种观点是错误的,因为磁感线是不会相交的,那么金属圈处于什么样的磁场中呢?根据右手螺旋定则,可以大致描绘出该装置中通电线圈产生的磁场的分布情况,如图2所示。图中磁感线都是闭合的环状曲线,由于磁极之间的距离很小,磁极间的磁感线可以近似地看作是水平的,所以在俯视图中,磁极间的磁感线好像都是由中心向外辐射的。但事实上,通过金属圈的磁感线并不是由中心向四周辐射的,由纵截面示意图可知,它们像喷泉一般自下而上穿过金属圈。当金属圈向下运动时,穿过它的磁感线越来越密,磁通量增大,产生了感应电流。根据楞次定律,可判断产生的感应电流的方向是顺时针的,这与根据导体切割磁感线时常用的右手定则判断出来的结果是一致的。

根据以上分析,金属圈中能产生感应电流也是因为通过它的磁通量发生了变化,与法拉第电磁感应定律并不矛盾。我们也可以应用回路磁通量的变化来求出感应电动势的大小,那么用这种方法求得的电动势大小是否等于用切割磁感线的方法求得的电动势呢?

设金属圈在dt时间内下降很小的一段距离dy,此过程中磁感应强度水平分量的平均值为Bx,竖直分量的始末值分别为By、B′y 。如图3所示,在金属圈的轴线上取一个底面半径为r,高为dy的圆柱体。根据磁场的高斯定理,通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零,取圆柱体的外法线矢量为正方向:

由以上计算可知,根据导体切割磁感线得出的感应电动势与根据通过回路磁通量的变化所计算的结果相同。应用这两种方法的前提条件是一致的——即通过金属圈的磁通量发生改变,导体切割磁感线的运动,只是引起闭合电路的磁通量变化的具体方法之一,两者是“特殊性和普遍性”的关系。

另外对于这一问题,学生还可能产生这样的疑问:金属圈切割磁感线的同时,通过线圈的磁感应强度又在不断变化,那么金属圈中的电动势究竟是动生的,还是感生的,还是两者之和呢?其实,动生电动势和感生电动势在这一问题上只具有相对的意义;如果选择激发磁场的通电线圈为参考系,空间的磁场不发生变化,而金属圈在运动,所以金属圈内的电动势是动生电动势;如果选择金属圈为参考系,则通电线圈相对于金属圈向上运动,这一相对运动引起磁场的变化,金属圈中的电动势又成了感生电动势。由于选择了不同的参考系,同一感应电动势,既可以说是动生的,又可以说是感生的;不过,坐标的变换只能在一定程度上消除动生和感生的界限。本题中感应电动势的大小是确定的,可以按动生电动势计算,也可以按感生电动势计算,而不是两者之和。

参考文献:

[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:高等教育出版社,1995,480.

(栏目编辑罗琬华)