快乐的数学

刘克峰

我感觉到，数学的未来在中国。因为中国人做数学就像中国人打乒乓球一样有优势，我们在这方面是有特长的，可以做得很好，发展得很快。数学需要聪明人，我们十三亿人口中绝对不缺优秀的人才。数学不需要太多的投入，只要有一个好的图书馆，把一群好的年轻人聚集在一起，让他们无忧无虑地讨论数学，有五年到十年就会大见成效。如果说国内那一门学科可以很快成为世界一流，我相信数学是最有可能的。

我的生活、学习与研究的经历

我的小学、中学都是在开封和天津的农村和郊区上的，父母也只有小学文化。我初中三年级才开始接触英文。至今还记得小学一年级坐过的泥土板凳和照亮的煤油灯。但河南农村小学、天津的郊区小学和中学却培养了我独立思考问题的好习惯。上初中和高中时，因为没有人讨论，所以自己经常会为一个问题苦思冥想几个星期。这种习惯是做研究必不可少的。现在我会时常为一个问题思考几年不觉得累，而且会觉得很享受。

数学竞赛有很多弊端，却激发了我对数学的兴趣。中学数学竞赛的一次失利对我影响极大，也激励我更加努力。我自学了高中、大学里的不少数学，开始时似懂非懂，可即使如此，再看中学数学就觉得非常简单了。所以，我觉得高考应该有一些微积分的知识，因为微积分某种意义上是集初等数学之大成，是现代科学最不可缺少的工具，越早接触它对自己未来的发展就越有利。

小学时，我们“开门办学”，夏天去田地里拾麦穗，考试开卷，自己编写考试题目。由于课程轻松，我大部分时间是与小朋友们四处玩逛。现在想想，这却与美国的小学教育很有一些相像之处。如今，与我同时代的不少朋友在国内外各行各业都做得很成功，大家并没有觉得小时候少学了什么。我现在每每看到国内的孩子们被考试、习题折磨成蔫蔫的样子，心里总觉得不是滋味。

1976年我小学毕业的时候正好遇上唐山大地震，我们曾在露天里，把黑板挂在树上上课。今年的汶川大地震给了我更多心灵的振颤。这两次大地震对中国都有划时代的意义。1976年正是中国改革开放的前夜；2008年将会是中国空前团结和强大的里程碑。

海外的游子们尤其感受到了中国的进步，民族的团结与强大。这跟我20年前到美国去的时候完全不一样。那是在我读书的时候，连香港、台湾的同学说起大陆都有不屑的样子，美国媒体里中国人的形象也大都很负面。当时我们太穷太困难，现在的情况是天翻地覆，世界上对中国的尊敬从各个方面体现出来，包括美国的媒体、好莱坞、娱乐等各方面对中国的描述也完完全全地改变了。这种改变令我们更加觉得作为中国人的自豪。

我不到16岁上大学。在北京大学读书的四年里，数学上没有太多进步，玩得太多，写了几百封情书追求我现在的太太。但大学里7个人一个宿舍的经历却磨炼了我的个人生活能力。而当时我们班上学习最好的两个同学，都在1988年前后来美国名校读书，毕业后由于生活事业上的一些不顺利，都自杀了。我想，这是经不起生活坎坷的磨练。其实许多坎坷回头看来都根本不值得一提，如果能够咬牙克服过去，事后回想起来也许是自己人生的宝贵经验和快乐回忆。我经常告诉我的学生们，中国人并不比别人聪明，我们最大的优势就是韧性，那是我们文化和人性的根基。屡挫屡战，能够在大大小小的失败里站起来才是真正的成功者。

在大学的时候，我们大都不知道什么是现代数学研究，以为就是做习题和考试。这使得许多学生，包括我自己失去了进一步学习的热情和动力。所以现在我带学生，都会让他们尽早接触现代数学研究的前沿知识，让他们有新的努力方向；让他们尽量多学各个方面的数学知识，有自己开阔的眼界。

我真正知道什么是现代数学是在1985年，陈省身先生在南开举办的暑期班里，我似懂非懂地学习了一些当代的几何拓扑知识。印象最深的，就是陈先生讲座中提到的陈示性类和指标定理。暑期班以后，我反反复复地读在暑期班里没有学懂的陈先生指定的两本书，由此也开始体会到“学而时习之，不求甚解；每有会意，便欣然忘食”的愉悦感觉。那一期的暑期班培养了好几位优秀的数学家，如张伟平、周向宇、方复全等，他们都是当今中国几何拓扑学界的领袖人物。

我在中国科学院研究生院读书时，同学中有南开的张伟平院士、中科院数学所的周向宇所长等。那时很少有机会能听到前沿的课程。我们自己组织讨论班，报告陈示性类、指标理论、莫代尔猜想等等。开始还无法完全弄明白，但是却开阔了眼界，至少知道了什么是“好的”、值得学习的数学。这对每个人来说都是非常重要的。我觉得学生们最需要培养的是对数学的鉴赏力，让他们知道什么是好的、有用的数学才是最重要的训练。

1988年我来到哈佛大学攻读博士学位，让我感触最深的就是那里的教授和学生们勤奋工作和学习的作风。许多著名的大教授，如鲍特·辛格当时都七十多岁了，满头白发，却每天出现在各种讨论班里，像年轻人一样上课问问题。丘成桐先生也一天到晚坐在研究生的课堂里。现在国内最缺少的正是这样一种风气。

我想，一流的大学其实就是这样，并非一流的大楼和最先进的计算机，而是一流的研究学习氛围。然而，推动老师学生们如此投入的是他们对数学的好奇、热爱和对知识的渴求。哈佛举办各种讨论班，老师学生们都非常积极地参加，座位不够了，甚至坐在地上，那时的我感觉就好像一头扎进了知识的海洋，每天早晨都感受到不同的阳光，那是非常令人兴奋的日子。

美国顶尖大学里对研究生的培养就像是把人扔到水里学游泳。教授们通常不太管学生，让学生们互相促进。在那样的氛围和知识的海洋里，每个人都会自觉地非常用功，争取游到成功的彼岸。我在浙江大学数学中心也努力创造这样的氛围，经过五年的努力，已经初见成效。

1993年从哈佛毕业后，我先后在麻省理工学院、斯坦福大学与加州大学洛杉矶分校任教，近五年来我把大部分精力投入到浙江大学数学研究中心与数学系的建设中。

我感觉到，数学的未来在中国。因为中国人做数学就像中国人打乒乓球一样有优势，我们在这方面是有特长的，可以做得很好，发展得很快。数学需要聪明人，我们十三亿人口中绝对不缺优秀的人才。数学不需要太多的投入，只要有一个好的图书馆，把一群好的年轻人聚集在一起，让他们无忧无虑地讨论数学，有五年到十年就会大见成效。如果说国内哪一门学科可以很快成为世界一流，我相信数学是最有可能的。其实中国能成为体育强国就是五十年代从乒乓球抓起，以此来带动其他体育项目的。我觉得我们的科学发展也应该从数学来率先突破，它们的共同点是投资少，见效快，又很合乎中国人的天性。我们投这么多的钱在足球里面，还不如投到数学里面，如果这样，中国的数学将很快是世界超一流的。我想，数学家们肯定不会让老百姓揪心的。

中美教育应该互补

我觉得应试教育是一种训练机器，把孩子的灵性和能力磨掉了，只有对习题和考试的被动回应。我们一些老的体制和观念对我们发现和培养人才也是很大的障碍，尤其对有鲜明个性的学生，我们的老师压制多于鼓励，只是希望他们听话，并不鼓励他们的个性和好奇心。其实。许多优秀的学生，我们只需要把他们引导到正确的学习研究轨道上，他们很快就会非常出色。据我了解，我们的中学老师、家长们都明白问题所在，但却往往身不由己地跟着恶性循环。家长们既心疼孩子又要强迫他们去随大流拼命。许多有条件的家长宁可忍受分离之苦把孩子送到国外读书，以此来逃避国内的各种考试，这样的牺牲却未必值得。

我们的孩子们从小就开始参加“奥数”，他们中许多并非为了兴趣，而是被逼无奈。奥数竞赛本身用意很好，可是物极必反，被许多学校和家长们用作进入好中学，好大学的工具。奥数获奖者的人数和进入清华北大的人数成为许多学校的金字招牌。太多的功利因素把奥数变成了进入好学校的工具，而不是用来激发学生们的兴趣。奥数免试制度显然弊大于利，作为人学的参考应该会有更好的作用。一些大学每年为所谓高考状元的竞争更是白热化。不少老师也知道这样做不对，可还是要做。其实大学之间应该是比较培养成功的人才数量，而不是比较哪一个招收了更多的所谓状元。招收很多人才却培养不出来就是大学教育的失败。

中国学生们十几年的中小学生涯就是把进入最好的大学作为人生的目标。父母、学校还有学生们往往忘记了大学只是人生奋斗的开始。而对于我们今天的学生，大学却变成了人生奋斗的终点。

美国的教育恰好相反。学生们一直到高中玩得很多，尤其美国孩子更多地是在体育、才艺等其他方面发展。学校里的功课相对简单，数学教育更多的是灌输知识，而不是技巧。但他们的教育方式有非常好的一面，如从小学开始就给一些研究性质的项目要求学生自己找资料，总结整理并在班上演讲。老师也鼓励学生主动回答问题，多与同学交流。这是非常好的研究和学习训练。我们是读研究生的时候才开始这样训练的，缺乏这样的“童子功”，很影响中国学生在国内外的事业发展。不仅要做出好的成果，还要让别人了解并应用你的成果，这是现在做研究的必经之路。

美国大学的选拔方式也是全方位的，包括独立思考能力、社会责任感、团队精神、体育才艺等等的综合评判，考试成绩只是参考指标的一部分，而且入学考试有几次机会，并非像国内一样一次考试定终身。这对学生的全面发展非常有利。

美国的中学生们到了高中为进入好大学大都非常用功。据统计北加州三分之二的高中学生缺乏睡眠和营养，各种协助学生申请大学的机构也应运而生。由此可见学习的刻苦，竞争的激烈。我女儿上高中时就经常学习到深夜来准备转天的考试，在大学里更是紧张，还要开始为自己以后的生活和工作考虑。他们从此上紧了人生的发条。上大学以后他们能够更加成熟地思考自己的人生，许多人知道要为自己的未来而主动用功。

我们的孩子们该玩的时候设有玩够，从小就是在为父母们用功，磨灭了天真。所有的理想都是父母和社会强加给他们的，并非他们自己的意愿。一旦进入大学，离开父母，他们就往往不再有用功的动力。过度的机械训练让他们对科学完全失去了兴趣，而沉迷于小时候没有玩够的各种游戏。

我觉得中美教育各有所长，也各有所短，都有合理和不合理的地方。中国的教育注重基础和技巧，但为了升学进行魔鬼式的考试技巧训练有害无益。美国一般的中学教育又显得过于放纵，不少数学老师本身水平就很低。但由于美国有许多各种水平的大学，这保证了各种水平的学生都有进人大学的机会。中学也一样，大量的与多样化的中学给了学生们各种升学受教育的机会。美国学校的另一个优势是他们可以雇到全世界最好的老师，招收到全世界最好的学生。这保证了美国优秀大学的研究和教学水平总是在世界前列。随着经济的发展，中国也渐渐地具备了这样发展大学和研究的实力。我相信更多的大学，包括高水平的私立大学与教学研究的国际化，集世界的英才为中国服务，将是中国教育的发展方向。

我在美国大学里教书发现，在每个大学里，即使哈佛，尽管有许多非常优秀的学生，但也有基础非常差的学生，这说明美国招生制度也有弊端。如何将中美教育的优势综合起来培养我们的学生也是我经常思考的问题。我接触了不少美国的研究生与大学生，注意到他们的共同点是非常自信，与老师相处非常坦然，讲课条理清楚，这应该是他们从小训练的结果，他们的不足是缺乏韧性，全凭热情做事，生活和研究中一旦遇到稍大的挫折就会立刻向其它方向发展。当然，美国社会也给了他们各种转行的条件。

中国的学生基础扎实，勤奋用功，但一般比较害羞，对老师过于恭敬和崇拜，有时对自己的观点缺乏自信，这阻碍了他们的创新能力。他们的表达能力也相对有些欠缺。在国外许多中国留学生没有成功，甚至完全失败，并非他们天分不行，而往往是性格因素和生活能力造成的。其实他们中许多人在研究中取得了很好的成绩，却不能很好地适应社会。据我个人的经历，现代社会中一个人的成功与否与“情商”的关系明显大于“智商”，最聪明的往往不一定是最成功的。好的数学证明常常是经历了几十个甚至上百个失败的尝试之后才找到，所以一个人经受挫折的韧性往往是成功的关键。我的导师丘成桐先生也经常教育我们，要不屈不挠、屡败屡战才能成为真正的强者。

由于长期的考试训练，国内的许多学生很难适应由读书走向研究的过渡阶段，我发现许多优秀的学生在这一步上垮掉了。不少考试的尖子一旦觉得自己的研究不如同学，就会产生极端的嫉妒或者自卑情绪。前几年在国外的中国学生身上表现极为突出，甚至有自杀和杀人的例子，包括在哈佛和麻省理工学院等名校的学生。

我们的独生子女过分地依赖父母和老师，他们在适应集体生活与研究等方面的问题似乎更加严重。这是我们作为老师和家长都要面对的问题。

“法乎其上，取乎其中”

关于学习的方法和对数学的兴趣，我个人的经验是，数学学习应该遵循“法乎其上，取乎其中”的方式，这是事半功倍的好方法。比如学习微积分的知识用来解决许多中学数学问题就非常有用。我初中二年级时数学曾经很差，但我似懂非懂地自学了一些高中数学，再回头来看初中数学，就觉得非常容易。同样我高中时自学了一些大学的数学，中学的数学题就不在话下了。我希望大学生们尽早了解研究生阶段的知识，而研究生则要尽快开始研究训练。技巧训练也很重要，但不要为技巧而技巧，做题的目的是为了掌握知识。而兴趣则往往产生于能够解决困难问题的成就感。在具体的学习过程中，我教导我的学生要上课前预习，课堂上认真做笔记，课后认真复习

做习题。采用这样的三部学习法可以有效地提高学习效率。课余时间还要读些课外书，尽量拓展自己的知识面。对于研究生我要求他们在学习过程中要连奔带跑地冲到研究前沿，论文和书籍要一起看。只有读了论文，开始做研究了，才知道什么样的数学有用，应该下功夫，要尽量少做无用功。

我们的教育体制有许多要改进的地方，除了中学里有太多的考试，在大学里，有些老师的知识就过于陈旧和狭窄，而且不努力学习新的知识，更不可能拓宽学生的知识面了。许多学生也动辄以能做上万道习题为荣，或者早早就把自己限制在某个狭窄的研究方向上。这样的教育只能培养给别人打工的工匠，不可能培养出真正的科学家。我觉得对数学专业的学生而言，要首先拓宽眼界，不仅在数学的各个学科之间，更包括物理等相关学科，然后再尽可能地融会贯通，激发出想象力。

五年前，我来到杭州为浙大数学中心与数学系工作。我和我的朋友们觉得最重要的使命之一就是发现与培养人才。我们意识到了上面提到的各种各样的问题，除了呼吁社会的关注，我们也希望通过我们的努力来改变这种状况。

这几年在国内工作，我们尽量用自己的成功经验来培养学生，避免他们重犯我们曾经犯过的错误而能够取得更大的成功。在浙大我们创建了丘成桐数学英才班，其模式也是“法乎其上”理念的实践，我们请到国内最优秀的老师给丘成桐班上课，希望学生们以最快的速度走到现代数学的前沿。其实我们并不缺乏优秀的学生，我们缺乏的是优秀的老师和好的教育方式。好的老师往往把复杂的理论讲得简单，并激发学生的兴趣，而差的老师却会把简单的问题讲得复杂，让学生失去自信心。我现在每星期都能收到一些年轻学生的邮件，向我诉说他们对数学的热爱，许多都很令我感动，也更加让我感到自己的责任。作为老师，被学生与家长们寄予厚望，如果不能把优秀的学生培养成材，就是最大的资源浪费!

从研究生开始，我一直有幸遇到最好的老师：早年的钟家庆、王启明、陆启铿先生；以及后来的陈省身、丘成桐先生。钟先生与王先生的学问和人生都是踏踏实实、朴实无华，陆启铿先生对人对学问都是执著真诚。他们都深深地影响了我。至今还记得，当年与周向宇教授一起，在陆先生家里挂着小黑板上讨论的情形。

陈省身先生对人对学问都有与众不同的看法。他曾经很得意地告诉我他对“仁”字的新理解。他认为就是“两个人的关系”。我想科学是应该最不讲人情的，对就是对，错就是错，可是中国却是一个人情社会。也许他晚年思考的问题，是如何处理好数学发展与人际关系的平衡。我们博士毕业的时候，丘先生与丘师母也谆谆教导我们要处理好做学问和做人的关系。注重友情和亲情是中华民族的美德，但如果没有适当的底线就会产生不好的影响。在国内的学校里，学科的发展也往往受到人际关系，特别是与领导关系的制约。

陈先生教育学生的方式是“放羊”，给他们提供好的学习环境，完全相信学生自己的能力，让他们自由发展。陈先生对“运气”的理解也有不少独到之处。

丘成桐先生无论做数学还是做人都是我的楷模，他是我们华人数学家的骄傲。1987年王启明先生写信给丘先生推荐我。1988年一月份丘先生用快件给我寄来哈佛的申请表，这完全改变了我的人生道路。

丘先生对数学的贡献，对朋友的真诚，对祖国的热爱，对中国数学的巨大投入都将载入史册。他培养学生也非常成功，他的学生遍布美国一流大学的数学系。哪怕你是研究生第一年的新生，丘先生也往往要求你尽快读懂最新的数学文献井在讨论班里演讲，这样一来学生们几乎是“连滚带爬”地走到了数学研究的最前沿，在研究中学习，在学习中研究，这是“法乎其上”精神最成功的体现。

(作者单位：浙江大学数学中心)