试论高等数学教学过程中对学生应用能力的培养

宋　菲　王建瑜

(西北农林科技大学理学院陕西杨凌712100)

摘要本文首先分析了目前大学数学教学中存在的教学方法空洞单一、应用性不强等现象，从几个方面剖析了现象背后的原因，最后提出了如何改进数学教学的方法和建议，主要是授课内容上要与时俱进，教学方法上要充分利用直观形象的教学手段，同时注意知识之间的融会贯通与应用性等，以期提高大学数学教育的质量。

关键词数学教学；直观；应用；与时俱进；教育质量

20世纪中叶以来，现代信息技术的飞速发展，极大地推进了应用数学与数学应用的发展，使得数学几乎渗透到了每一个科学领域及人们生活的方方面面。自然科学的深入发展越来越依赖于数学，而社会科学、人文科学也越来越多地借助于数学知识及其思想方法。数学作为科学的语言，作为推动科学向前发展的重要工具，在人类发展史上具有不可替代的作用，并将在未来的社会发展中发挥更大的作用。这也标志着新世纪对大学生数学素质要求更高更全面。但是，目前高等院校的本科数学课程教学中存在不少问题，很不适应当前整体学时减少及高校扩招后学生现实的状况。应如何加强直观性、应用性和创造性的教学，重视课程的教学效率和效果，切实提高大学数学教育质量就显得尤其重要。

一、目前的现象和困惑

由于缺乏直观性、应用性和创造性教学，使得在目前的大学数学教学中出现了如下几个较为普遍的现象：

1、“空洞的解题训练”现象

两千年来，人们一直认为每个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是今天，由于数学教学模式较单一，讲授知识点多，讲述数学知识的来源少；讲授知识本身多，讲述知识“身外”之事之事少。缺乏直观性和应用性的教学，使得数学教学有时竟演变为空洞的解题训练。教学内容枯燥无味，难以激起学习兴趣。

2、“得意忘形”现象

“过分” 强调数学知识的严密性和数学理论的抽象性而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系，使数学“过度”抽象化、神秘化。淡化了数学的通俗性和实用性。同时，缺乏或不太重视直观性特别是几何直观性教学，使学生知其然不知其所以然，较大程度上陷入“得意忘形”的境界。“得”了数学知识的字面定义、性质、定理，“ 忘”了数学知识的原始来源动机和直观。

3、“高等数学无用论”现象

使学生认为数学就是“定义+定理(性质、公式)+证明(计算)”，数学学好学坏对自己以后的发展没关系或影响不大。数学知识的来源和应用介绍得少，数学的重要性、数学对科学技术的发展、其它学科的促进和支撑作用没有充分体现。没有充分认识到让学生懂得数学的广泛应用性也是数学教学的任务之一，对提高数学教学质量往往会起到事半功倍的作用。

4、“数学太难”现象

高等数学是我国高等院校为低年级学生普遍开设的一门基础课，学生对高等数学掌握的好坏直接影响到其对后续课程的学习，也是决定该同学能否升入高一年级的学习关键。但是，尽管高等数学的课时较多、老师和学生都下了不少的功夫，但期末考试时，高等数学的挂科率高大多位于“榜首”。分析原因，大家几乎都认为是“高数太难”。为什么会这样呢？

由于教学方法和思想的不当，我们的教学往往使学生认为数学及数学学习很“恐怖”，学生缺乏学习积极性、主动性，引导学生自主思考、开动脑筋的题目、问题较少。大都是一沉不变的公式、定理证明和复杂的计算，让学生觉得非常“痛苦”。

二、现象背后的原因

数学之难以理解，究竟是数学学科本身内在的特性，还是因为数学教师们在传播数学知识方面的无能呢? 造成上述现象应该既有数学学科本身的原因，也有教师自身的原因。简单归纳如下：

1、数学学科的特点

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，是人们在社会生产和生活实践中总结、提炼和抽象出来的。内容的抽象、结构的严谨、应用的广泛、发展的连续是数学区别于其他学科的显著特征，也是数学学习难度大的原因之一。数学内容的抽象性给学生学习造成接受上的困难；结构的严谨给学习数学造成理解上的困难；应用的广泛造成掌握上的困难；数学发展的连续性决定数学知识是连续的，要明白后面的知识，必须懂得前面的内容。间断的学习、非系统的学习是很难学懂的。

2、数学教学教育观念的原因

长期以来，人们把数学当作升学就业所必须掌握的知识，学习数学是一种任务，无形中有一种负担和无奈在里面。加之大学数学教师上课时，仍然是强调高数在毕业、升学、就业的必要性，忽视高数对学生进行思维、能力、情感、素质以及推动社会发展的功能介绍，让学生更进一步加重了发愁、压抑、沉重感，给高等数学学习造成心理上的困难。

3、数学教材的原因

目前的高等数学教材存在过于理论化的弊端，为了知识的逻辑性，将原来数学形成的历史实际一扫而空，剩下的只是公式的堆积和字母数字的堆砌，学生们根本看不到活的数学。看不到知识、概念产生的来龙去脉，不便于理解和接受，这也是造成高数学习困难的又一个原因。

4、数学教师的水平及对数学的理解

受到数学教师的自身水平限制，缺乏对数学知识和文化的真正理解。大多数教师仍是以教材为范本，教师堂上一味地讲，学生台下被动地听。枯燥、乏味、难理解，就自然而然地成为数学的代名词，难以使学生产生对数学学习的兴趣，使数学变得神秘化、复杂化、符号化。

三、应该怎样做

1、授课内容上要与时俱进

微积分理论是高等数学中一个重要的内容。这一理论从牛顿2莱布尼兹时代算起，已有300 多年的历史。150 年来，大学数学教材里一直是按照那时形成的理论讲授微积分的基础内容的。总是先介绍极限理论，然后介绍微分理论，接着从原函数的角度引入不定积分，之后是一大堆的不定积分方法的介绍，最后才是定积分。当然我们不是说这种方式不好，而是觉得这种统一的按部就班的模式“太过平静，缺乏个性”。

虽然我们现在学习的微积分理论是几代人不懈的努力得出的经验，也经过了时间的检验，却不代表我们不能在其基础上追求创新和发展。例如，数理逻辑学家罗宾逊用模型论的方法证明，实数结构可以扩张为包含无穷小和无穷大数的结构，从而创立“非标准分析”。这样可以不用极限概念，直接从牛顿—莱布尼兹时代提出的的“无穷小”出发建立严谨的微积分；林群院士采用“一致微商”的定义简化了微积分基本定理的论证；张景中院士用与林群院士不同的方法实现了微积分的初等化。

我们应当在教学中尝试用新的方法来讲述经典的内容。使现在困惑我们的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解。这就要求我们的教材要不断的更新和进步，以适应当前的发展和需要。

除此以外，应该在授课内容上给教师以足够的灵活处理的空间。科学技术日新月异，数学教学也要与时俱进，给教师一些活动空间，对培养高素质创新型人才大有好处。

2、充分利用直观形象的教学手段，变抽象为直观，变难为易

许多学生都反映高数难学，其中的一个原因就是数学的抽象性。高等数学中的很多定义、原理、定理、证明等等，都是抽象出来的数学语言，对许多刚刚接触高等数学、比较缺乏数学思想训练的新生而言，这些数学语言和数学概念都是非常模糊的、难以理解的、不生动的。对于这些抽象的理论，如果能够用直观的图像予以图示，可以使人更深刻的理解其意义，把握其思想方法，迅速地理解掌握。我们对此有着深刻的体会，在高等数学中，有一个隐函数的存在性定理，这个定理在工科的高等数学教学中是不予证明的。是不是这个定理就不重要，当然不是！事实上，这个定理的证明比较繁杂，初学者很难快速理解定理的证明思路，我们通常的做法是要求学生直接记住结论，而不做额外的说明。可这样做的结果是学生是知其然而不知其所以然，也很难真正的理解和掌握它。教学实践中，我们通过一些直观的几何图形辅助说明，这个定理的证明思路就是很容易被学生理解和接受了。

因此直观模型不仅能够帮助人们理解深刻复杂的理论，也可以帮助人们开展创新思维。在可能的情况下，在高等数学的教学中使用直观的方法，可以使学生理解更为深刻清晰，记忆更为牢固，短时间内接受一些复杂的思想，提高课堂教学效率。

3、加强数学知识之间、数学知识与其它学科知识之间的融会贯通

科学知识的增长是非线性的过程。在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展。现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍然在急剧地变化发展中。

因此，我们的教学不能只停留在单一的层面上，而应该注重强调知识的关联性、系统性，加强同一门课程不同知识点、不同课程的相关性和交融性教学，比如极限、导数、积分、级数等关系是什么？微积分、线性代数、复变函数等中起至关重要作用的知识点是什么？微积分与物理学之间有着什么样的联系，具体地说，有线性微分方程解的可叠加性与电磁场场方程的线性是什么关系；Euler 公式与电磁理论有什么关系；基本函数族及其正交性与光的非相干叠加有什么关系等等。我们的学生能够体会数学知识之间的融会贯通和紧密相关性吗？能够体会数学学科与其它学科之间的紧密关联性吗？

4、要引导学生提出有意义的问题

在我们看来数学教师要交给学生两样东西，一是数学思想，也就是让学生学会用数学的思想方法去思考和解决问题，二是应用能力，也就是让学生学会用数学家的眼光去发现问题并进行归纳。从这个意义上说，数学老师要做两件事，第一，在现实与数学的鸿沟之间架设一座桥梁，第二，将数学思想融入数学知识的讲授中，也就是说，不仅要教给学生解决问题的方法，更重要的是要让学生明白，什么样的问题是重要的？如何采用合适的方法分析和解决这些问题？

“提问题”也是让学生参与教学活动的一种有效的方法，同时也能培养学生勤学好问的习惯。因此每介绍一个新的概念和理论，首先应该向学生阐明概念和理论的背景，也就是说应该先明确要探讨什么问题？为什么要探讨这样的问题？例如，定积分产生的一个重要背景就是解决面积问题。事实上，微积分产生之前，面积问题只是绅士们的奢侈品，一般人是不敢问津的，只有在牛顿—莱布尼茨公式产生之后，面积问题才变得相对平凡。有了问题，才会有解决问题的冲动，才会进一步思考、学习和研究。

5、加强数学知识的应用性教学

时代的发展需要更多的高素质人才，他们除了要学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动时代的发展。我们学数学的目的是为了应用它去解决实际问题。因此，在当今的大学本科教学中，重视数学知识的实际背景，加强应用数学意识与能力的培养，是十分必要和迫切的任务。

现代数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从空间科学到地球科学在内的一切科学领域进军。例如，相对论和量子力学的创立和发展离不开张量分析、无穷维空间这两种数学工具；著名的杨—米尔斯理论也依赖于微分几何中联络这一概念的发展；解开DNA 双螺旋结构之谜的钥匙是拓扑学中的扭结理论。

当今，数理统计应用于遗传学；概率论应用于人口统计和种群理论；微分方程应用于各种生物模型的建立；布尔代数应用于神经网络描述；数值模拟已成为的有效工具，类似的数值模拟方法应用于航空、航天设计、核工业在内的许多技术部门，以代替耗资巨大的试验；小波分析直接应用于通信、石油勘探、图像压缩等技术领域；现代医学仪器工业也离不开数学(如CT 扫描仪的研制，就是以现代数学中所谓“拉东积分”理论为基础) 等等。这样的例子举不胜举。

“数学物理”、“数理化学”、“生物数学”、“数学地质学”、“数理气象学”……，一连串交叉学科的形成说明了数学向其它自然科学领域渗透的广度。因此，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，是每位数学教师面对的课题。力求将“应用性教学”思想贯穿整个教学过程，只要可能，都应该提出应用的问题和可应用的方面。

参考文献

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