统计物理与复杂系统

作者简介：周海军，男，出生于1973年9月，湖南省南县人。1991年至1995年在天津市南开大学物理系学习；1995年至2000年在北京中国科学院理论物理研究所学习并获理学博士学位；2000年至2005年在德国波茨坦市马克斯普朗克胶体与界面研究所从事博士后研究。2004年11月,入选中国科学院百人计划。现任中国科学院理论物理研究所研究员、博士生导师，主要从事统计物理研究。

为什么浮在静止水面上的花粉会不停地漂移？为什么水会在100摄氏度沸腾变成蒸汽？为什么液氦在超低温时不再具有粘性？这些疑问曾困惑着二十世纪初世界上一些最优秀的大脑，但今天它们已经不再是问题，因为统计物理学已经给出了完备的答案。 作为现代理论物理的支柱之一，统计物理研究多体系统（包含极大数量的粒子或组成单元）的平衡和非平衡性质，它希望能从系统内部的微观相互作用出发，通过定量计算理解和预言系统的宏观性质。 在一百年的时间内，统计物理学家对简单和近似全同粒子系统的平衡态性质取得了非常大的研究进展。今天统计物理学更多关注的是无序和复杂系统的非平衡集体性质。 这些系统包括玻璃系统、自旋玻璃系统、颗粒物质等，也包括复杂生物和社会网络系统、生态系统、金融博弈系统，甚至还包括计算机系统中的优化问题、信息科学中的编码解码问题、神经网络系统中的学习和决定过程等。

对无序复杂系统的研究给统计物理学带来了很大的挑战，同时也意味着新的机遇和突破。本文将介绍其中一小部分前沿问题，以期增进读者对统计物理学新进展的了解。

一、玻璃系统、颗粒态物质

玻璃态是一种常见但奇异的物态，它作为一种中间状态处在液态与晶体态的边界［1］。如果一种液体材料的温度被快速冷却到一个低温水平，它常常会演化到玻璃态而不是变成晶体。 处于玻璃态的物质除了同时具有液态与结晶态的一些物性之外还有一些特别之处，例如它表现的宏观性质很强烈地依赖于制备方式并且有很复杂的老化行为；例如它虽然整体上是静止的，但在微观以及很多个不同的介观尺度上却一直在演化。人们对玻璃态出现的物理机理目前还没有一个完全清晰的了解。玻璃质动力学以及玻璃相变是平衡和非平衡统计物理学一个非常活跃的研究领域、而且这一系统与许多其它物理系统（如自旋玻璃、颗粒态物质等）有内在的深刻联系。

液体在冷却的过程中，由于分子的扩散与结构重组变得越来越缓慢，它的粘滞系数会变得越来越大。 实验发现，对有些液体材料而言存在一个比较大的温度区域，在该区域内体系的粘滞系数随温度降低而疾速增加：温度可能才改变几度但粘滞系数已经上百倍地增加了！更细致的研究发现这种粘滞系数的强温度依赖性又可以细分为两大类，即对应于“强”和“脆弱”玻璃态动力学过程。 这些表现出来的强或脆弱玻璃态动力学过程的微观动力学机理是什么呢？对玻璃态动力学过程是否可以建立比较普遍的理论？更加基本的问题是：何谓玻璃相变？它是一种真正意义下的相变吗？

对上述这些问题和其他相关问题在文献中已经有很多讨论。现在有一种看法，认为强的玻璃态动力学过程是由于分子在运动时受到的局部约束造成的［2］。这样一个系统的平衡态性质可能是很简单的，在低温时只存在一个晶体相。 但在从高温快速冷却的驰豫过程中，由于形成了运动学上的阻塞现象，系统没法达到真正的自由能极小晶体态，而是一直处于一种无序的微观上不停演化的状态。 按照这种观念，玻璃相变可以看成是一种类似于浸润相变的阻塞相变过程。 它是否是一种真正的相变取决于微观动力学规则：在有的动力学系统中，系统在等待足够长时间后一定会到达晶体态，而在另外一些动力学系统中，系统可能永远也不能到达晶体态。

另一方面，不少工作讨论玻璃系统的平衡自由能图景，如是否存在一类玻璃系统，具有非常复杂的（不依赖于动力学过程的）平衡自由能图景呢？在这样一个系统中，由于存在极大的自由能壁垒，体系在趋向平衡的过程中可能长时间地被困于一个又一个的自由能局域极小态，导致系统的宏观演化非常缓慢并且表现出复杂的老化行为。这样的实际系统如果存在，它的玻璃相变就可能有更多产生机制。

对玻璃系统的完全理解还需要非常多的工作。对玻璃态动力学过程和玻璃相变的定性和定量的描述也将促进整个非平衡统计物理学的发展。

颗粒态物质体系是一类非平衡复杂体系。颗粒系统是由尺寸大于1微米的颗粒组成的宏观体系。在这样的体系中，热运动和温度对系统的性质没有多少影响，但系统在重力、颗粒之间的相互碰撞和摩擦力等因素的影响下有特别复杂的动力学自组织行为。 对颗粒系统的了解目前还比较有限，国内有中科院物理研究所的陆坤权、厚美瑛、孙刚等研究组进行实验和理论研究。关于颗粒态物质系统的详细介绍可以参看相关文献［3］。

二、 复杂网络

复杂网络是统计物理学一个新研究领域。1998年玏atts和Strogatz发表的有关“小世界”网络的论文以及1999年Barabasi和Albert发表的有关“无标度”网络的论文在国际上引起了统计物理学工作者对复杂网络研究的热情［4］。十年以来，复杂网络统计物理学已经经历了一个快速成长期。在这一阶段，许多工作都主要关心抽象网络的统计物理性质。 随着这一领域研究走向成型、走向深入，新的突破更可能会来自于理论与实际系统的结合。 如何理解包括神经系统在内的复杂生物学系统的集体行为和稳定性也许是面临的最重要的挑战。在此，我们仅简单回顾近年来在复杂网络结构、动力学以及演化方面的一小部分进展。要全面地了解国内学者的工作，读者可以参考郭雷和许晓鸣主编的《复杂网络》一书及其中的引文［5］。

（一）结构

将一个复杂体系内部的相互关系用一个网络表示后，第一步是对这个网络的拓扑结构进行了解。 生物学系统中有基因调控网络、蛋白质相互作用网络、新陈代谢网络、神经元连接网络等；技术网络有互联网、计算机芯片电路网络、大规模电网等；社会学网络有万维网、城市交通网络、铁路与飞机运输网络、社会交际网络等。对大量的网络进行统计分析，人们发现实际复杂体系所对应的网络通常都非常不同于数学上的完全随机网络。实际网络具有小世界性质（网络中存在许多短的回路和一些边连接网络的不同区域，这样从网络中的一个点到其它任意一个点的最短步数只有少数几步）；同时，它们的顶点连通度没有一个典型的标度（给定一个远小于系统总顶点数的连通度k，总是可以找到一些顶点，它们的近邻数目要超过k；更精确地说，网络中顶点连通度的分布P(k)是k的幂次函数：P(k)~ 1/kγ）。

大部分实际复杂网络都具有大的群聚系数、短的平均最短路径和接近幂次形式的度分布。此外，复杂网络的一个重要拓扑特征是它的社区结构。人们发展了许多给复杂网络划分社区的方法：有的方法基于边的介数，有的基于网络中带偏向的随机行走或网络中的短回路等。社区结构的算法目前仍然是一个热点的问题。 复杂网络其它引起了广泛关注的结构特征量还包括网络中相邻顶点度数之间的关联、顶点和边的介数分布特征、顶点权重的分布特征等。

（二）动力学

网络结构如何影响网络上的动力学过程，一直是复杂网络研究的一个中心课题。现研究比较多的网络动力学过程有传染病的传播、网络上的输运动力学、网络上的同步现象、观念演化和博弈过程以及基因调控网络的动力学稳定性等。人们发现，网络的拓扑结构对网络上动力学过程有非常大的影响。 例如考虑一个网络上的局部多数规则下的动力学过程：网络上的每个顶点可能取两种观念中的一个，而一个顶点在每一个时刻都倾向于选择它近邻顶点中多数所持的状态。 从一个初始的随机状态出发系统的状态将向完全有序演化。 研究发现在完全随机的网络上，系统达到有序的特征时间正比于体系顶点数N的对数。在无标度且标度指数γ大于2.5的随机网络上，系统达到有序的特征时间也同样正比于log(玁)。 然而在无标度且标度指数γ小于2.5的随机网络上，系统达到有序的特征时间与系统大小基本无关。在这样的网络上，如果大小为1000的一个网络需要1.5步就能达到完全有序，当顶点的数目增加100倍时，系统从无序标到有序也只需要1.5步，甚至更少。

网络拓扑结构对网络上动力学过程的影响，比如传染病的传播与控制。 在无标度的复杂网络上，由于存在一些连通度很大的顶点，一种传染病很容易通过先感染这些顶点而传播到整个网络。 人们讨论了多种接种免疫手段来防止传染病在网络（如社会系统）中扩散，这些免疫手段都强调了对高连通度顶点的免疫或隔离。 复杂网络结构对网络上输运（例如交通流）效率的影响在日常生活中经常能体会到。 不同类型的网络出现交通流的阻塞现象的临界流密度有很大差异。网络的结构对网络上的同步现象也有极大的影响。

通过对复杂网络上不同动力学过程的研究，人们认识到一个给定的网络结构特点（例如幂次形式的连通度分布）可能对某些动力学过程而言是最优或接近最优的，但对另一些则可能是不适合的。 实际的复杂网络系统常常需要应对不同种类的动力学过程，它们结构特征的形成可能是多种因素综合作用的结果。 考虑到一个复杂网络结构可能要满足的多种互相冲突的约束，为何占很大比例的实际复杂网络都选择接近幂次形式的连通度分布呢？这一问题到目前为止还没有一个非常令人满意的解释。

（三）网络结构演化

对网络结构的演化进行理论与实验研究可能是今后一段时间的一个重要议题。在前些年，人们为了理解无标度网络的形成机制提出了一些网络的生长模型。这些模型认为在网络生长过程中，新加入的顶点会有更高的比例与网络中连通度较高的顶点建立联系。这种网络演化模型的演化规则是人为制定的。每一个复杂网络的存在必定是与一些实际的功能和实际的动力学过程联系在一起的。如何从动力学过程与网络结构相互耦合的角度来理解网络的演化与优化？这方面的工作目前还没有系统性，还不能概括出带有普遍性的一些结论和观点。

三、自旋玻璃理论及其应用

自旋玻璃的概念以及第一个自旋玻璃模型是由獷dwards和Anderson于1975年提出来的。为了理解一类无序合金的热容的低温奇异性质，Edwards和Anderson考虑一个处于d维(d=3,4,…)立方晶格上的无序自旋系统：每个晶格点上都有一个自旋，它可以取向上和向下两种可能方向（σ=±1）；相邻格点之间的相互作用有的是铁磁性的（耦合常数J为正），有的则是反铁磁性的（耦合常数J为负）。由于自旋相互作用耦合常数的无序性，在低温时会出现一种阻错现象：一个处于格点i的自旋，它的有些近邻希望它的自旋向上，而它的其余近邻却希望它的自旋向下；这样无论格点i的自旋是向下还是向上都不能使它的所有近邻感到“满意”。当温度降低时，格点自旋的取向翻转变得越来越困难；这样，一个格点上的自旋在大部分时间都喜欢朝向某个方向。但是由于无序与阻错的存在，这种自旋偏好取向和程度在不同的格点可以很不一样而且没有规律性，导致体系不表现出宏观的磁性。这种微观上有自发磁矩但宏观上不表现出磁性的特征在许多自旋玻璃系统中都可以观察到。

对自旋玻璃系统的理论研究所取得的进展主要是从平均场模型中获得的。这些平均场模型包括两大类。有一类模型是定义于完全连通的图上的，即图上每一个顶点和其它所有顶点都有一条边直接相连，这一类模型以玈herrington-Kirkpatrick模型和p自旋相互作用模型为代表；另一类是定义于有限连通的随机图上的，即图上每一个顶点只和少数一些其它顶点有直接的边相连，但这几个近邻顶点是从所有顶点中完全随机地选取的，这一类模型以玍iana-Bray模型为代表。通过三十年来的努力，自旋玻璃理论获得了很大的发展。今天，自旋玻璃理论的应用领域已经远远不局限于无序合金系统，它在更加广阔的领域获得了许多重要的应用，并且这些应用反过来推动着自旋玻璃理论的进一步发展。

四、展望

复杂系统统计物理学是一个很有生命力和应用前景的新领域。 当前复杂系统统计物理学的重要研究课题，除了本文提到的玻璃态动力学和老化现象、复杂网络中的非线性动力学和网络演化、自旋玻璃理论及其应用以外还有很多课题。我们尤其希望指出如下两个重要方面：一是统计物理在金融科学和社会科学中的应用，二是统计物理学中的多尺度计算机模拟技术。统计物理在交叉学科中的应用越来越普遍，实际上统计物理本身在一定程度上也是一门交叉学科。

对于有志于从事理论物理研究的青年学生而言，参加到这一具有挑战性的交叉科学研究领域无疑是一个很好的战略选择。

参考文献：

［1］、［2］Binder K, Kob W. Glassy Materials and Disordered Solids: An Introduction to Their Statistical Mechanics. Singapore: World Scientific, 2005.

［3］陆坤权，刘寄星，颗粒物质物理学导论//陆坤权，刘寄星，主编. 软物质物理学导论.北京：北京大学出版社，2006,645-683.

［4］Albert R, Barabasi AL. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys.,2002,74: 47-97.

［5］郭雷，许晓鸣,主编. 复杂网络. 上海：上海科技教育出版社，2006.

(栏目编辑廖伯琴)