勾股定理及其逆定理的应用

罗普能

勾股定理及其逆定理是初中数学的重要内容，也是中考热点内容之一，由此引出了一些极富创造性的新型试题。下面以近几年中考题为例，为同学们介绍勾股定理及其逆定理的应用，希望对大家的学习有所帮助。

一、判断三角形的形状

例1已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。

解析要判断△ABC的形状须先求出三边a，b，c的长，再利用勾股定理逆定理进行判断。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，则a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形。

点评在由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三边之长，最后利用计算来判断△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股数

例2观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c。

⑴试找出它们的共同点，并说明你的结论；

⑵当a=21时，求b,c的值。

解析只要能够发现每组内三个数之间的规律即可，而这需要从不同的角度去观察，运用从特殊到一般的思想来分析。

⑴各组数的共同点是:

①各组数均满足a2+b2=c2;

②最小数(a)是奇数，其余的两个数b,c是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和。

由以上特点我们可猜想并说明这样一个结论：设x为大于1的奇数，将x拆分为两个连续正整数之和，即x2=y+(y+1),则x,y,y+1就构成一组勾股数。

∵ x2=y+(y+1)(x为大于1的奇数),∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2,

∴ x,y,y+1是一组勾股数。

⑵运用以上结论，当x=21时，212=441=220+221, ∴b=220,c=221。

点评此题的实质是揭示了寻找勾股数的一种方法：先选一个大于1的奇数，然后把这个奇数的平方写成两个连续正整数的和，则由这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，运用此法可以得到许多勾股数。

三、构造直角三角形

例3如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°， ∠ADC=150°， 已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD的面积。

解析四边形ABCD是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解。

连接BD，∵ AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形。

∴∠ADB=60°， BD=AD=AB=8。又∵∠ADC=150°， ∴∠BDC=90°，故△BDC是直角三角形。

因为四边形ABCD的周长为32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC。

在Rt△BDC中，BD2+DC2=BC2，即82+DC2=(16-DC)2。解得DC=6。

四、解决存在性探索题

例4是否存在这样的直角三角形，它的两直角边长为整数且周长与面积相等？若存在，求出它的直角边长；若不存在，请说明理由。

解析题中条件较少，先假设存在这样的三角形，根据题中的等量关系及勾股定理列出方程，经讨论分析即可得证。

假设存在符合要求的直角三角形，设边长分别为a，b，c，且c为斜边，a，b为正整数，由题意，得a2+b2=c2①， ∵ a为正整数，∴b-4=1,2,4,8,即b=5,6,8,12。

把b代入④中得a=12,8,6,5,且c=13,10,10,13。

所以符合条件的直角三角形有两个，边长分别为：6，8，10；5，12，13。

五、用于解实际应用题

例5如图2，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

解析要求AE的长度，在Rt△ADE中应用勾股定理可求，但只知道DA=15km，不能求AE的长度。同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，可以分别在这两个直角三角形中都利用勾股定理。在Rt△ADE中，根据勾股定理得：ＡD2+AE2=DE2，在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2，而DE=CE，从而得到等式AD2+AE2=CB2+BE2，列方程问题就可以解决了。

设AE=x，则BE=25-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得AD2+AE2=DE2。在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2。

因为现在要在公路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。由DE=CE，知DE2=CE2，所以AD2+AE2=CB2+BE2。

即152+x2=102+(25-x)2，解得：x=10。

因此E站应建在离A站10km处。

例6如图3，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了几步路（假设两步为1米），却踩伤了花草。求他们少走了多少步路？

解析本题是一道新颖的实际问题。要算出少走了几步，则需要求出路AB等于多少米。观察图形知AB是Rt△ABC的斜边。因为AC=3m,BC=4m, 根据勾股定理可解决问题。

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=32+42=25,所以AB=5m。

根据假设可知5m需要走10步，则沿B→A走需要10步。而沿B→C→A走需要14步，可见他们仅仅少走了4步路,却踩伤了花草。

点评以上两题实际上是勾股定理在实际问题中的灵活应用，解题的关键是理解题意，构建数学模型。