牛顿的猫

曾　新

有只猫掉下来、掉下来、掉下来。有只猫掉下来、掉下来、掉下来，原来是只牛顿猫。

说到猫，就有一箩筐的故事。上流社会的淑女喜欢抱着慵懒的睡猫，中古欧洲的女巫则有黑猫做伴。虽然宫崎骏尝试在漫画《魔女宅急便》当中，改变人们对魔女穿着黑衣服、骑着扫帚的印象，但仍有很多人都认为黑猫是不吉祥的象征，以前的人就相信黑猫可以让僵尸复活。有趣的是，以前台湾人称貌美的女子为黑猫。至于猫的历史可以追溯到公元前2500多年的古埃及，当时的古埃及人养猫是用来防老鼠，为了崇敬猫保存埃及人的谷粮，他们甚至以猫为神。女神巴司特即为人身猫头，巴司特在埃及还有爱和月亮的意思，将猫奉为月神，很可能和猫可变化的瞳孔有关。猫对人类最重要的贡献应该是捕捉老鼠，尤其是在农业时代，人们辛苦耕耘的收获得靠猫守护。另外，中古欧洲人也利用猫的捕鼠技术防治黑死病。猫天生就是个狩猎家，它拥有灵敏的耳朵可以在黑夜中听到细微的声响，它轻盈的步伐可以无声无息地接近猎物，柔软的身躯可以像弹簧般快速地捕捉猎物，猫可称为猎杀者中的极品。

薛定谔的猫

猫对物理也有贡献，在高深的量子物理学有所谓的薛定谔的猫，这是著名的物理学家薛定谔在1935年提出的一项想象实验。将一个钢制的箱子、电子侦测器和一只猫放在密闭房间内，箱子中间有一个活动式隔板，整个实验是想利用电子启动毒药，将猫毒死。首先在箱子内放置一颗电子，根据量子理论的说法，这颗电子可能在箱子的任一位置。如果箱子用一隔板分成两个区域，这时电子出现在其中一个区域的机会为50％，就像投掷铜板得到字的几率相同。箱子的其中一个区域是密闭的，另一个区域会和外面相连。如果电子在这个区域内，就会跑到箱子外头，这时电子侦测器会侦测到电子，并释放出毒气将猫毒死。因此当箱子的隔板放下，毒死猫的机会也是50％，而薛定谔的猫会让人觉得量子物理是多么的诡异。

量子物理对于日常生活的人是件超诡异的学问，想象将一颗篮球投向一面高墙，根本不需要经过计算，三岁儿童都知道篮球会反弹回来。即便你真的用牛顿运动定律计算篮球撞向墙壁的行为，或者实地操作一次，都是同样的结果。但根据量子物理的计算，篮球是有很小的机会能够穿墙而过，够诡异吧!这是因为量子物理是用几率来描述万物。自从有了量子物理，我们不再说电子是以类似行星绕行太阳的轨道模式绕行原子核，而是以几率波的方式分布在原子核四周。物理学家只能说电子在某些区域出现的几率较大，也就是这种几率波的描述方式，才让看似物体的电子也有类似光波的干涉现象。

回头看看薛定谔的猫，这只可怜的猫被关在密封的房间内，根据量子物理的哥本哈根解释，只要我们不打开房间察看，就不会对该系统做出任何的干扰。这时猫的生死只能用几率来表示，也就是说猫可能是生，也可能是死。唯有打开房间之后才能知道结果，这和一般的认知有很大的差异。通常我们认为打开房间发现猫被毒死了，显然在打开之前，箱子的隔板放下之后，猫就被毒死的。然而哥本哈根的解释认为这段时间的猫是处在生和死的叠加状态下，亦生亦死，非生非死。以薛定谔的话来说：活猫和死猫是以对等的部分混合，这只薛定谔的量子猫真是只麻烦的猫。但古典的牛顿的猫也不是只随便的猫，牛顿的猫牵涉到古典的角动量守恒定律，甚至还得出动微分几何和规范理论。

猫与角动量守恒

古典物理中有四个重要的守恒律，就是说有四种物理量在隔绝系统内是不会改变的。这就好比是一个封闭小国的货币总数，如果该小国位于太平洋上的一个小岛，不和其他国家有任何贸易行为，没有任何的货币交换活动，并且也不发行和销毁货币，该国的货币总数就会守恒。每个人拥有的货币可能会增加或减少，但整个国家的货币总数是不变的。古典物理中的质量、能量、动量和角动量都是守恒量，后来加上爱因斯坦E=mc²的质能关系式，使得质量和能量的总和是守恒量。在没有外界影响(即没有外加力矩)下，一个系统的总角动量是守恒不变的。系统内的某个部分增加角动量，就一定会有某些部分的角动量会减少。严格说起来，角动量是一种向量，这个量除了有大小，还有方向，就像速度一样。因此守恒除了大小守恒，方向也要守恒，大小和方向必须同时考虑。直升机就是靠角动量守恒才能飞行，直升机是由顶端的大型叶片快速旋转，产生向下气流，将直升机升起来。只有顶端叶片的直升机是飞不起来的，叶片一旦开始旋转，整架直升机会以反方向旋转，旋转的速度会比较慢。这是因为直升机的转动惯量比叶片大，角动量是转动惯量乘上旋转的角速度，根据角动量守恒原理，直升机会以较慢的角速度反方向旋转。为了保持直升机稳定，尾翼的叶片是不可或缺的，利用尾翼叶片的旋转让整架直升机固定下来，而改变尾翼叶片的旋转速度也可以控制直升机的前进方向。

角动量守恒并不能算是崭新的近代物理定律，但是有关角动量的问题至今仍层出不穷。例如从高空中掉下来的猫。想象两手各抓住猫的前肢和后肢，这时猫呈现四脚朝天的模样，然后双手放开，让猫自由落下，并不令人意外，猫会在空中转身后四脚落地。也许你会惊讶于猫的灵活动作，但这种转身动作一直到最近几十年才被科学家认真研究。猫掉下来的事件有什么令人困扰的地方?如果考虑刚才提到的角动量守恒，你会发现这只掉下来的猫应该会摔个四脚朝天。当一开始猫在空中呈四脚朝天的模样，如果只是双手放开，没有甩动的动作，表示一开始猫没有角动量，因此当猫落到地面的过程中不应该产生角动量。也就是说猫不会转身落地，但真实情形并不是如此!

在猫下落的情形当中，可以想象一条通过猫身体质量重心的水平线，猫的四肢向上，必须经过一次相对于水平线的旋转才能平安落地，猫是如何做到凭空旋转?早在18世纪末就有人开始研究这个问题，法国科学家Marey对生物的运动感到有兴趣。他在1894年发展了一套相机系统可以快速地拍摄一连串猫落下的照片。另一位法国科学家Guyon曾解释猫如何转身落地。角动量是转动惯量和角速度相乘的结果。转动惯量和质量不同，一个物体不管外形如何变化，它的质量不会改变。但是转动惯量却和物体的外形和旋转轴有关，相对于旋转轴的距离越大，转动惯量越大。例如溜冰选手在冰上做自转的动作，当双手张开的时候，相对于旋转轴的距离就比收手的情形大。因此双手张开的转动惯量比较大，根据角动量守恒原理，溜冰选手在张开双手和收手的时候有相同的角动量。但张开双手的转动惯量大，因此旋转的角速度小，收手的时候角速度变大，溜冰选手就转得快。Guyon认为猫落下的时候先收缩前肢，

伸展后肢，改变猫前半身和后半身的转动惯量，然后前半身和后半身以相反的方向旋转。由于收缩前肢使得前半身的转动惯量小于后半身的转动惯量，因此旋转的时候，前半身转动的角度较大。接着猫伸出前肢，收缩后肢来改变前半身和后半身的转动惯量，此时后半身以原先相反的方向旋转较多的角度，前半身则旋转较少的角度，最后四肢在落地前都能朝向地面。

虽然Guyon的解释符合角动量守恒，但实际观察并没有发现猫依照此方式掉落。在1940年，1950年的一本俄国出版的理论力学教科书中提出另一种说法，主要是靠猫的尾巴快速旋转，让猫的身体以反方向旋转落地，就像一架没有尾翼的直升机。但根据观察，猫可以在很短的时间内(约1／8秒)旋转180度，并且猫尾巴旋转的转动惯量比猫身体的转动惯量小很多。若要让猫在1／8秒内旋转180度，猫的尾巴得在1／8秒内以相反的方向旋转数十圈。简直像直升机旋转的叶片一样快。此外根据这种说法推论，一些特别修剪过尾巴的猫是会摔得四脚朝天。在1960年，英国生理学家麦当劳曾用切除尾巴的猫做实验，他发现这种猫仍会安全落地。

到了1960年又流行新的解释方法，新的解释是来自于兔子的行为。科学家发现兔子也有类似的高级动作，当兔子四脚朝天地落下，会有几个基本动作。兔子会先弯腰，让它的身体弯出一个角度，接着兔子会伸展它的后肢，让前半身和后半身近乎垂直，通过前半身的轴线称作甲轴，通过后半身的轴线称作乙轴。甲轴和乙轴的夹角近乎90度。此时兔子的前半身绕着甲轴旋转180度，让它的前肢朝向地面。根据角动量守恒原理，兔子的后半身必须以相反方向绕着甲轴旋转，但是兔子的后肢距离甲轴较远，相对于甲轴的转动惯量很大。因此后半身只要向相反方向旋转很小的角度即可。接着换后半身旋转，此时后半身是绕着乙轴旋转180度。同样地，兔子的前半身相对于乙轴的转动惯量很大，只会有很小的角度反转，最后兔子的四肢都朝向地面落地。实际情形并不会如此繁琐，兔子同时进行前半身和后半身的旋转，这种高级动作的关键是要先弯腰，弯腰造成前半身和后半身相对于两条轴线有不同的转动惯量，透过适当的调整达到转身的目的。

到了1969年，美国科学家Kane和Scher在期刊上发表了新的解释。他们仔细观察猫翻身落下的动作，发现了几个特点，当中最重要的一点就是没有发现前后身躯的相互扭转现象。先前的解释方法是将猫的身体分成两部分，如果前半身顺时针旋转，后半身就得逆时针旋转。也就是说前半身和后半身之间有相互扭转的现象，以满足角动量守恒，就像双手拧毛巾一样，只不过猫的前后半身旋转角度不同，而Kane和Scher并没有发现前半身和后半身之间有相互扭转的情形。根据他们的解释，猫掉下来的时候，身体呈现弯曲，猫的前半身和后半身都以相同的方向绕各自的轴线旋转，单是这种方式旋转会多出一些角动量。此时猫的整个身体必须绕着水平轴线以相反的方向旋转，自然而然地，猫就会四肢朝下。Kane和Scher将整个过程用转动微分方程式描述，并且进行了数值模拟计算。他们将猫简化成两个圆锥体，分别代表猫的前半身和后半身，两个圆锥体以某个角度排列，之间用了两个椎面体相接，椎面体之间只有滚动，没有滑动，以确保两个圆柱体之间没有相互扭转的情形发生。整个模拟过程就如预期想的一样。

牛顿的猫的问题并不是想象的那么简单，虽然只是个古典的角动量守恒问题，并没有牵涉到狭义和广义相对论，也没有丝毫的量子理论，但直到最近30多年才逐渐有了答案。你可曾猜想过，一只掉落的牛顿的猫问题除了和看似简单的角动量守恒有关，还牵涉到古典力学的完全和非完全系统，甚至加上数学的微分几何理论。先前提到Kane和Scher发现猫的前半身和后半身之间没有扭腰的动作，前后身躯都是以相同的方向旋转。若以两个圆锥体来代表猫的前后身躯，两个圆锥面接触的地方不会有滑动的情形发生。这种没有滑动的现象可以看成圆锥体运动的一种约束条件。

有约束条件的问题并不容易解决，考虑一个没有体积大小的质点在三维空间任意移动，通常可以用位置和速度来描述该点的运动情形。在三维空间中，位置是由三个数字表示，也就是三个坐标值，而速度也有三个分量，总共有六个数字来记录质点的运动。在古典力学中，需要六个独立的方程式来描述运动状态，每个方程式提供一个数字的变化情形。如果该点用一根棍子拴起来，棍子的另一端固定在空间中的某一固定位置上，这时质点的运动就受到约束。它只能在一个圆球壳上移动，圆球壳的半径为棍子的长度，这时只要6—1=5这个方程式就可以描述该点的运动，因为已经有了一个约束的条件存在。在猫的问题中，两个圆锥体之间的限制在于圆锥面必须黏在一起，但是之间的滑动和滚动又属于不同的物理问题。Kane和Scher考虑的滚动情形属于完全系统，而先前的解释属于非完全的滑动。虽然Kane和Scher宣称没有看到猫有扭腰的动作，猫掉落的问题应该属于完全问题。但直到近几年，仍有麻省理工学院的学生用非完全的方式讨论此一问题，甚至动手制作仪器进行实验。

牛顿的猫的问题也可以从数学方面下手，以更广义的方法研究猫掉落的问题，允许猫以各种姿势下降。例如将猫的头朝下，就得用更抽象的手段来看牛顿的猫，或者说用抽象的手段来看一个可变形物体的方位变换问题。另外牛顿的猫还有最佳化的问题，也就是说要用什么样的翻转方式才是最理想，这部分就和控制理论有关。早期有关牛顿的猫的数学理论是要将物理学家和数学家的规范理论连接起来，希望一个物体外形空间在物理学家的规范理论中扮演基本空间或时空的角色。牛顿的猫掉落的问题可以将猫的外形想象成在空间中一组点的集合，这个点的集合看起来就像一只猫。猫四脚朝天地掉下来，则看成点集合在空间中向下掉落，当这些点落到地面，整个点集合的外形没有改变，只有方向改变。这问题有点像是莫比乌斯带，一根指向上方的箭头沿着莫比乌斯带平行地前进，当箭头绕回来的时候，方向却指向下方。在空间中代表猫外形的点也有类似的方向改变，只不过在整个变化过程中有一个约束条件，就是角动量必须守恒，数学家就是要处理这只牛顿猫的规范理论。

牛顿的猫的问题可不是个无聊的问题，在实际运用和理论上也不简单，它出现在许多地方。例如溜滑板运动，滑板选手在非常陡峭的滑板场地做出许多不可思议的转体动作。当滑板选手借助腾空的时候，在空中做出扭腰转体的高级动作，这些动作也都和角动量有关。另外像是在跳水、体操和花样滑冰，也都有空中转体的动作。除了地球上的活动外，在太空中也有牛顿的猫的现象，航天员在航天器外回头拿取身后的工具，这也有角动量的问题。航天器的控制系统也不例外，看来牛顿的猫并不会比薛定谔的猫来得简单!