传送带知识的“梯级”复习

袁培耀

中国石油天然气管道局中学，河北省廊坊市065000

摘要：传送带是重要的机械装置，问题特点表现为水平传送带的匀速、加速、减速传动，斜面传送带的向上、向下传动；解决问题的中心环节是分析相对运动，画出必要的运动情境图，确定相对位移或路程；解决问题的主要知识和规律是运动学知识、牛顿运动定律、动能定理。

关键词：传送带；滑动摩擦力；相对位移；相对路程；摩擦热

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)3(S)-0046-3オ

传送带是一种重要的机械装置，是物理知识在生产中的具体应用，通过传送带知识的“梯级”复习，可以综合考查运动学、动力学、功能、动量等知识。

1 水平传送带匀速传动的情景

例1 如图1所示，皮带传动装置的两轮间距L=8m，轮半径r=0.215m，皮带呈水平方向，离地面高度H=0.8m。若一物体以初速度v0=10m/s从平台冲上皮带，物体与皮带间动摩擦因数μ=0.6，(g=10m/s2)求：（1）皮带静止时，物体平抛的水平位移多大？（2）若皮带逆时针转动，轮子角速度为72rad/s，物体平抛的水平位移多大？（3）若皮带顺时针转动，轮子角速度为72rad/s，物体平抛的水平位移多大？お

解析 （1）皮带静止时，物体在皮带上做匀减速运动，加速度大小为a=μg=6m/s2，物块离开传送带时v1=v20-2aL=2m/s，离开传送带后的飞行时间为t=2Hg=0.4s，故平抛位移为s1=v1t=0.8m。

（2）皮带逆时针转动时，物体的受力情况及运动情况与（1）相同，所以落地点与（1）相同，故s2=s1=0.8m。

（3）皮带顺时针传动时，v皮=ωr=14.4m/s＞v0，物体相对皮带向左运动，将受向右的摩擦力，其加速度为a=μg=6m/s2。若一直匀加速到皮带右端时，其速度为v2=v20+2aL=14m/s＜v皮，物体离开传送带时的速度即为v2，故s3=v2t=5.6m。

点评 在解决传送带问题时，容易走入陷阱的是传送方向与物体运动方向相反情景，其原因就是对摩擦力方向的确定原则理解不准确所致。摩擦力方向总与物体间相对运动的方向相反，而不是与物体的运动方向相反。

2 水平传送带匀速传动的情景

例2 一水平的浅色传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ，初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，再以此速度做匀速运动，经过一段时间，煤块在传送带上留下一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，求此黑色痕迹的长度。

解析 根据传送带上有黑色痕迹可知，煤块与传送带间发生了相对运动，煤块的加速度a=μg＜a0。设经历时间t，传送带由静止加速到速度为v0，煤块则由静止加速到v，有v0=a0t，v=at，由于a＜a0，则v＜v0，煤块将继续受到滑动摩擦力作用，经过时间t′，煤块的速度由v增加到v0，有v0=v+at′，此后煤块与传送带之间不再发生相对滑动。因此，在煤块速度从0增加到v0的过程中，对传送带有s0=12a0t2+v0t′，对煤块有s=v202a,传送带的痕迹长为l=s0-s，综合上述各式得l=v20(a0-μg)2μa0g。

说明 在煤块与传送带速度相等前，由于煤块一直相对传送带滞后，故痕迹长度、物带相对位移、物带相对路程三者相等。

3 水平传送带匀减速传动的情景

例3 将一底部涂有白色颜料的小铁块A，轻放在以v0=2m/s匀速传动的足够长的水平传送带上，在传送带上留下一长度为s0=4m的划痕。若传送带匀速运动中突然改做加速度为a0=1.5m/s2的匀减速运动，且直至速度为零，并且在传送带开始减速运动的同时，将另一相同的小铁块B轻放在传送带上，则小铁块B停止在传送带的位置与自身划痕起点的距离是多少？

解析 由传送带匀速运动的情景可知，只要物带间有相对运动，物体运动的加速度大小由s带-s物=4m解得，恒为a=0.5m/s2。

在传送带突然改做匀减速运动的同时放上物块B，B开始一段时间将做匀加速运动，当与传送带速度相等后，因a0＞a，物体将超前于传送带而做匀减速运动，传送带停止后，物体继续减速，最终停止，其运动位移关系如图2所示。お

设物体B加速阶段所用时间为t1,末速度为v1，则有v1=at1=v0-a0t1，解得t1=1s，v1=0.5m/s，传送带位移s┐1=v0t1-a0t21/2=1.25m，物块位移s┪1=at21/2=0.25m。传送带从v1减速至零阶段的位移为s┐2=v21/2a0=1/12m。物体从v1减速至零阶段的位移为

s┪2=v21/2a=0.25m。

由图2可知，B停处与划痕起点间的距离Δs=s┐1+s┐2-s┪1-s┪2=5/6m。

说明 整个过程，物体相对传送带既有滞后阶段，又有超前阶段，故物带间的相对位移为Δs=5/6m，划痕长度为Δs+s┪2=6.5/6m，物带间的相对路程为Δs+2s┪2=4/3m，三者不相等。

点评 明确物体速度和传送带速度的关系是解决问题的前提，而正确分析物体与传送带间的摩擦力则又是正确确定速度关系的基础，所以，理解物体间运动的相对性是解决此类问题的关键。

4 斜面传送带匀速传动的情景

例4 倾角为θ=37°的传送带以v=4.0m/s的速度按图3所示方向匀速传动，已知传送带上下两端相距s=7m，今将一质点木块A无初速的放于传送带上端，木块A与传送带间的动摩擦因数为0.25，求：（1）木块从上端到下端所需的时间，（2）木块与传送带间相对滑动的位移，（3）木块到达下端时的速率。

解析 物体刚放上传送带时，相对于传送带向上滑，所受滑动摩擦力沿带面向下，为动力，物体将在传送带上向下匀加速运动，由牛顿定律得加速度a1=g(sinθ+μcosθ)；设经过时间t1速度达到v=4.0m/s，通过的距离为s1。综合解得：t1=0.5s，s1=12a1t21=1m，可知物体仍在传送带上。又因μmgcosθ＜mgsinθ，之后，物体将超前于传送带相对传送带向下滑，所受滑动摩擦力沿带面向上为阻力，以加速度a2=g(sinθ-μcosθ)完成剩余的s2=6m的位移，由s2=v t2+12a2t22，解得t2=1s，故总时间t=t1+t2=1.5s。

由相对运动的特点，物体滑至下端的过程中，相对传送带的位移为Δs=s-vt=1m（整个过程物体相对传送带的路程为7m)。再由v2璽-v2=2a2s2，解得v璽=8.0m/s。

点评 传送带问题最典型的是相对性特点。对于斜面传送带，还要注意明确物体运动和传送方向的关系（向上传送或向下传送），并且能自觉地比较mgsinθ与μmgcosθ的关系，以正确地确定物体在传送带上的运动形式（如：例4中若μmgcosθ＞mgsinθ，则第二段过程将是物体随带匀速运动）。其次，要摒弃头脑中摩擦力是阻力的错误概念，以便正确地使用摩擦力。

5 传送带与动量、能量知识的综合应用

例5 如图4所示，质量M=1.0kg的木块随传送带一起以v=2.0m/s的速度向左匀速运动，木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.50。当木块运动至最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以v0=3.0×102m/s水平向右的速度击穿木块，穿出时子弹速度v1=50m/s。设传送带的速度恒定，子弹击穿木块的时间极短，且不计木块质量变化，g=10m/s2。求：（1）在被子弹击穿后，木块向右运动距A点的最大距离；（2）子弹击穿木块过程中产生的热能；（3）从子弹击穿木块到最终木块相对传送带静止的过程中，木块与传送带间由于摩擦产生的热能。お

解析 （1）设木块被子弹击穿时的速度为u，子弹击穿木块过程动量守恒，有mv0-Mv=mv1+Mu，解得u=3.0m/s。

设子弹穿出木块后，木块向右做匀减速运动的加速度为a，根据牛顿第二定律μmg=ma，解得a=5.0m/s2。木块向右运动到离A点最远时，速度为零，设木块向右移动最大距离为s1，则有u2=2as1，解得s1=0.90m。

（2）根据能量守恒定律可知子弹射穿木块过程中产生的热能为E=12mv20+12Mv2-12mv21-12Mu2，解得E=872.5J。

（3）设木块向右运动至速度减为零所用时间为t1，然后再向左作加速运动，经时间t2与传送带达到相对静止，木块向左移动的距离为s2。根据运动学公式v2=2as2，解得s2=0.40m，t1=ua=0.60s，t2=va=0.40s。木块向右减速运动的过程中相对传送带的位移为Δs左=vt1+s1=2.1m，产生的热能为Q1=μMgΔs左=10.5J，木块向左加速运动的过程中相对传送带的位移为Δs右=vt2-s2=0.40m，产生的热能为Q2=μMgΔs右=2.0J，所以整个过程中木块与传送带摩擦产生的热能为Q=Q1+Q2=12.5J，或Q=μMg(Δs左+Δs右）=12.5J。

点评 只要物体和传送带间有相对滑动，就一定会产生热量，且一定有Q热=f•s相，其中s相为物体与传送带间的相对路程，所以正确的确定物带间的相对路程，是顺利解决有关能量问题的重要因素。

(栏目编辑陈 洁)