数学能力与内隐知识

陈　琨　韩桂敏

近年来，有关数学能力与内隐知识的研究一直是数学家、数学教育家及心理学家所关注的课题，但大部分都是把二者分开，单独进行的纵向课题研究。而数学能力作为一种特殊能力，内隐知识作为人类知识的一种，除了存在上述一般能力与知识间的关系外，是否还隐藏着某些特殊的关系，有必要把二者放在一起深入挖掘，将有助于揭示数学能力与内隐知识的内在联系。

一、数学能力的概念及特征

目前对数学能力还没有一致的看法，比较认同的观点是：数学能力是指顺利完成数学活动所必备的且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并主要在这类活动中表现出来的稳定的心理特征。

数学能力的几个特征：

（1）特殊性。数学能力是进行数学活动必备的能力，在数学活动中形成和发展，只存在于数学活动之中，并在数学活动中表现出来。因此这就说明它必将有别于其他一般能力，是一种特殊能力。

（2）差异性。数学能力的本质是一种综合的心理特征，个体对数学活动的认知过程、思维方法等心理特征的不同导致了数学能力的差异性。

（3）稳定性。个体的某种数学能力一旦形成，则可表现出一种稳定性，不随时间、地点的改变而变化。但稳定也不代表一成不变，个体可以通过恰当的锻炼，使自己的数学能力得到提高。

（4）复杂性。数学能力不是一种单一的能力，而是一整套能力的综合，具有复杂性。比如克鲁捷茨基认为数学能力是创造性（科学的）与一般性学习能力的结合体。

（5）动力性。个体进行数学活动必定有数学能力的参与，而数学能力对数学活动的顺利进行起到一种动力作用，可以提高数学活动的效率。

二、内隐知识的概念

对内隐知识不同的学者也都有不同的阐述，综合各自对“内隐知识”的理解，其中的共识如下：内隐知识，也称隐性知识、意（默）会知识、缄默知识等，是存在于人的头脑当中、一般难于明确表述的知识，其获得必须通过个人的体验、实践和领悟，而难以通过他人的帮助或环境的支持来习得。它同个人的经验有很大关系，且对一个人的价值目标的实现起着至关重要的作用，具有实际应用价值。

通过对内隐知识概念的理解，可以知道：

（1）内隐知识也是知识，而且是一种个人知识。内隐知识是个人通过学习和实践积累形成的，包含着一些无形的因素，如个人的信念、观点和价值体系。也正如哈耶克认为：“实际上每个人都比其他人具有某些优势，因为他具有独特的信息。”表明个体的知识体系中包含着自己的内隐知识，使自己区别于他人并在某些方面优于他人。

（2）内隐知识是难以明确表达的知识。内隐知识只存在于人的经验之中，存在于人的头脑之中，它不能通过语言、文字或符号进行逻辑说明。因此，“我们所知道的总比我们所能言传的多”。

（3）内隐知识是实践的知识、行动的知识。虽然个体不能通过语言、文字或符号对内隐知识进行逻辑说明，但它总是能够以某种方式来表达，如动作、表情等，是我们在行动中所拥有的某种知识。如波兰尼所说，内隐知识是一种内在于行动的知识或构成行动的知识，它不是一种被动的经验，而是隐性认知，是认识者积极主动地发挥其隐性能力的过程。

（4）内隐知识本质上是一种理解力和领会力。与内隐知识相对的是显性知识，对于我们所拥有的显性知识，波兰尼说，“我们总是隐性地知道，我们认为我们的显性知识是真的。”显性知识的真正获得取决于我们对它的理解，而理解活动本质上是一个隐性知识的过程，即内隐知识侧重于在理解的基础上信服显性知识。因此内隐知识本质上是一种理解力，是一种领会、把握经验、重组经验的过程。以数学为例，单记住一个数学证明不能给数学知识增加任何东西，只有理解进而信服了数学证明，才能说我们掌握了数学知识从而获得一种能力。

三、数学能力与内隐知识

1.从内隐知识的视角看数学能力

（1）数学能力是在数学活动中形成和发展的，培养并提高个体的数学能力，是一个循序渐进的过程。例如，要培养学生的空间想象能力，可以让学生在初学立体几何阶段，观察各种几何模型，并学着自己动手制作几何模型，教师在讲解立体几何知识时，逐步减少出示模型的次数，改用精确的数学语言来描述，逐渐淡化学生对模型的依赖，直至最后完全脱离模型也可以十分清楚地想象出空间图形的位置关系。这一过程对个体空间想象能力的培养来说是一个模糊的过程，我们不能用精确的逻辑语言文字描述在什么时候什么阶段个体的空间想象能力已经形成，并在逐步提高，而只是在个体不自觉的运用了这一能力时，才发现原来自己已经具备这种能力，并能达到这种程度了。所以，从内隐知识的视角看，数学能力的形成、发展过程是“隐性的”。

（2）根据数学能力的定义，数学能力的本质特征表现为一种稳定的、综合的心理特性。在数学活动中，个体的观察、记忆、想象、思维、运算、交流、元认知等心理因素如何运作并使之协助活动顺利进行，是非常复杂而且难以用准确的言语进行逻辑表述的，作为个体只能“隐性的”（不可言传的）知道运用它们，发挥它们的作用。例如，计算“1+2+3+4……+100=”之类等差数列之和，已经学习了等差数列的个体可以根据已有经验判断这是一道等差数列求和的题目，利用求和公式计算即可；还没接触过等差数列的则会直接或技巧性的结合计算。个体看到题目知道要如何去做，支配他们行动的是一些“经验的”、“隐性的”东西。不同的个体因为已有经验不同导致他们观察、记忆、思维等互不相同，这些不同驱使他们各自进行了不同形式的解答，这些“经验的”、“隐性的”东西其实就是某些数学能力中的组合（观察、记忆、思维等）。个体在数学活动中能迅速而正确的解答这道题目，只是数学能力参与其中的外在表现结果，而这一过程所蕴含的心理过程——各种数学能力到底是如何交互运用、交替表现，是无法用言语明确论述的。所以，从内隐知识的角度看，在数学活动中，数学能力的运用、表现是“隐性的”。

（3）在数学活动中，数学能力的作用是帮助个体顺利完成这一活动，并尽可能提高其活动效率。根据内隐知识的特征，内隐知识本质上是一种理解力、领会力，它帮助个体真正的获取显性知识。如果把数学活动看做某种显性知识的获得，例如，“三角形内角和等于180°”这一命题，个体要真正掌握这一命题，就必须理解它的内涵，能够运用严格的数学推理证明它。那么在这一数学推理活动中，数学能力必不可少，它的作用正是帮助个体真正理解、掌握这个知识，从而信服这个知识。因此，在数学活动中，数学能力本质上也是一种帮助个体真正获取知识的理解力、领会力。

综上所述，数学能力同内隐知识一样是一种帮助个体真正获取数学知识的理解力、领会力，而且在数学活动中，数学能力的形成、发展及其运用、表现都是“隐性的”，因此，可以得出结论：数学能力是一种“隐性能力”，在数学活动中“隐性的”发挥着它的作用。进一步地，在按照广义知识分类的前提下，把能力看作是知识的一部分，那么数学能力也就是一种内隐知识。

2.从数学能力的视角看内隐知识

（1）内隐知识虽然是知识体系中不可言明的一部分，但它对一个人价值目标的实现起着至关重要的作用。在数学活动中，内隐知识的参与可以使活动顺利进行并提高活动效率，而内隐知识是一种个人知识，具有个体差异性，可以看作是个体伴随在数学活动过程中的一种心理特性，它作为一种理解力、领会力，“隐性的”参与个体的数学活动，具有数学能力的特征。

（2）广义知识分类将知识分为陈述性知识和程序性知识，程序性知识作为一种“知道如何”的知识，它具有两种不同的表现形态：一种是技术形态的程序性知识，另一种是实践形态的程序性知识。前一种形态的程序性知识往往表现为一套明确而阐述的技术规则，它是可以言传的，例如多位数的乘除法规则，四则混合运算法则等；而后一种往往不可能作为一套明确的规则阐述出来，往往是不可言传的，仅能以实际操作的方式加以表演或演示。从实际情况来看，绝大多数的程序性知识是两种形态的混合物，既有可以言传的成分，也有不可言传的成分。因此，内隐知识是程序性知识的一部分。而程序性知识本质上表现为一种技能，在数学活动中，作为某种技能的内隐知识，最终可以形成与之对应的数学能力。