特殊化方法与数学教学

孙玉玲 侯亚林

事物的发展,总是由简单到复杂,由特殊到一般,由具体到抽象,人们对事物的认识亦是如此。一般性寓于特殊性之中,特殊问题又往往比一般性的问题简单易解,因此我们面对一个抽象或复杂的数学问题,不妨先考虑其特例。由于在特殊情况下,矛盾比较集中,常可突出问题的关键,便于揭示问题的本质,而且从特殊的简单问题探求出的解法,对解一般情况问题往往有所启发,甚至可以略加推广修改而“照搬”过去。这就是说,特殊问题的解决往往孕育着一般问题的解法,即共性孕育在个性之中,这就是特殊化法的理论根据。美国数学家波利亚指出:“注意特殊情况的观察,能够导致一般性的数学结果,也可启发出一般的证明方法。”从一般退向特殊,是退中求进,是数学解题的一个重要的也是积极的思想方法,是目前数学中普遍采用的一种思想方法。在高等数学及科学研究中,由于问题更加抽象复杂,特殊化的作用显得更加不容忽视。

一、 特殊化的基本思想

特殊化策略即视原问题为一般,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。特殊化作为划归策略,基本思想是很简单的,相对于“一般”而言,“特殊”问题往往显得简单、直观、和具体,容易解决,并且在特殊问题的解决过程中,常常孕育着一般问题的解决。因此,人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时,常常会想到先解决它的特殊情况,然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上,而获得一般性问题的解决。正如波利亚所说:“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集,或仅仅一个对象。”因此,特殊化常表现为范围的收缩或限制,即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡,或从某类问题向其某子类问题的过渡。

从形式上看,将一般性问题特殊化是不困难的,但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题。显然,较为理想化的特殊问题是其自身容易解决,且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。所以,特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。

二、 特殊化数学思想的内涵

凡数学问题均由题设和结论两部分组成。对于选择题,题设即是题干,结论即为选择支。用集合的观点

说: 题设和结论都由数学问题所涉及的对象构成的集合及其元素间的关系构成。特殊化思想是将数学习题的题设元素特殊化,然后根据特殊化元素寻求问题的结论,或将结论中元素特殊化,然后根据特殊化元素验证问题的结论的数学思想。对于数学选择题,用特殊化的思想解决问题的过程是从题干或选择支出发,通过选取特殊元素,依据问题在一般情况下真则在特殊情况下亦真,反之,在特殊情况下不真则在一般情况下亦不真的原理,肯定某一选择支或否定其余选择支的过程。

特殊化是将所学的数学事实“退”到属于它的特殊状态(数量或位置关系)下进行探索和研究,从而达到解决问题目的的一种思维方法。用它来解选择题、填空题,有时显得方便、快捷;用它来分析一个复杂问题,则对思路的形成往往具有很强的启发性。

三、特殊化方法在数学教学中的具体运用

特殊化策略是一种“退”的策略,所谓“退”,可以从复杂退到简单,从一般退到特殊,从抽象退到具体,从空间退到平面,正如华罗庚先生所说,退到最原始而不失去重要性的地方,把简单的、特殊的问题搞清楚了,并从这些简单的问题的解决中,或者获得解题思路,或者提示解题方向,或者发现一般问题的结论,或者得到化归为简单问题的途径,从而再“进”到一般性问题上来。

“共性存在于个性之中” 。对于在一般情况下难以解决的问题(尤其是选择题、填空题这些不需要解题过程且答案唯一的题目),可应用“特殊化思想”。通过取特殊值、特殊图形等,使问题得到简便巧妙的解决。

(一)利用特殊化方法培养学生思维的周密性

思维的周密性是指,在分析问题解决问题的过程中,周到而细密地考虑到问题的各种可能情况的一种思维品质。其反面表现为思维不严谨、有漏洞,是学生最常见的一种思维缺陷。在教学中,教者若能恰当利用特殊化方法(如特殊值、特例、特殊情形等),揭示学生的问题所在,可使学生有顿悟之感,从而达到培养学生思维的周密性的目的。

在许多数学问题中,由于抽象、概括程度较高,直接发现或改正这些性质往往感到困难,这时,可以先试探它的特殊、局部情况的特性,从中发现规律和解答的方法,例如,对变量总是我们从特殊最佳入手探索,对多变量的问题,可先考虑单个或少数变量的情况;对含参量的问题,可先给参量赋值,探讨不含参量的普通问题;对一般的图形问题,可先考虑特殊图形或图形特殊位置的问题等等。这样先把问题简化,从中发现规律后,再去解决一般性的问题。

(二)利用特殊化方法,培养学生思维的批判性

学生思维能力的提高,需要一个循序渐进的过程。在这个过程中,学生对自己解答的正确性,对所提供解答(书上的或他人的)的合理性,缺乏一定的判断能力,这时若能抓住问题中的特殊情况加以考虑,使学生认识到解答中的错误或不合理,提高学生辨别是非的能力,这正是养学生思维批判性的有效途径。

辩证法告诉我们:矛盾的一般性包含于特殊性之中,说通俗一点,就是事物的共性是通过个性来体现的。这个哲学原理告诉我们,“特殊化”是一种重要的解题策略,它不仅能帮助我们突破许多数学题解答过程中的难点,从而迅速构建解题思路,而且还会使题解变得更加简洁流畅。

(三)利用特殊化方法培养学生思维的广阔性

思维的广阔性。就是善于从不同角度、不同方面去思考问题,寻求变异,寻求解答的一种思维品质。利用特殊化方法寻求一题多解、一题多变,对培养学生思维的广阔性无疑是十分有益的。

所谓特殊化是从对象的一个约定集合,转而考虑含于这个集合内的较小集合的思维方法,是数学思维中重要的实验手段,为发现一般性问题的解法﹑结论乃至提示新信息等方面起重要作用,因而在数学发现中有广泛的应用。历来都受数学家们的重视。华罗庚教授说:“这是一般的研究方法,先足够地退到我们容易看清问题的地方去,看透了,钻深了,然后再上去。”

当我们遇到抽象程度高的,一时难以想象的问题时,就应对其某些特殊情况进行考察,以打开我们的思路,拓宽视野,这有助于我们从特殊性认识普遍性,进而发现解决问题的方法,推进问题的解决。由于它是一种试探手段,因此,在解决特殊化问题时,眼光应一直注视于一般有用的东西上。

(四)利用特殊化方法培养学生思维的敏锐性

思维的敏锐性,就是指在分析问题解决问题的过程中,探求研究问题的实质以及问题之间内在联系的一种思维品质。在许多数学问题中,抓住问题的本质,利用特殊化方法探路,往往有助于我们打开思路。

特殊性化伯为休归策略,基本思想是委简单的:相对于“一般”而言,“特殊”问题往往显得简单、直观和具体,容易解决。并且在特殊问题的解决过程中,常常蕴藏着一般问题的解决。因此,人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时,常常会想到先解决它的特殊情况,然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上,而获得一般问题的解决。

(五)利用特殊化方法培养学生思维的独创性

思维的独创性是指主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的一种思维品质。它是思维的高级状态,是以上各种思维品质的相互渗透,相互影响的产物。在教学中要发扬民主,提倡多思多想,为学生创造性思维提供条件。

当问题比较难以入手解决时,应先找出使结论显然成立的情形或简单的情形,由此获得启示或为一般情形提供某种对比然后再从启示或对比中去发现两种情形之间的本质差别,对症下药,求得问题的解答。因此,对特殊情形或简单情形的考察、分析、讨论应立足于是否可以将答案应用推广到一般情形上去或是否可以由此得到不依赖于特殊情形或简单情形的一般方法。

数学中的特殊化具有明确的目的性。首先是给抽象命题以内容和意义,以便更好地了解所面临的问题、发现可能的解题途径其次则是借以发现一般性的结论何以是真的,或何以是假的。所以,在特殊化时,不应对任意的特例去进行考察,而应注意到我们较为熟悉的、较有把握的对象.常由随意的特殊化去了解问题,由系统的特殊化为一般提供基础,由巧妙的特殊化去对一般性的结论进行检验。

参考文献:

[1]钱佩玲,邵光华.数学思想方法与中学数学[J].桂林: 广西教育出版社,1998.15-18.

[2]姜晓芬.特殊化思想的应用[J].初中生必读,2003(8).

[3]刘心华.特殊化在解题的应用[J].池州师专学报,2001(3).

[4]肖丁.特殊化方法的思维价值及功能[J].大理学院学报.2002(4).

[5]方志伟.谈特殊化与一般化的解体思维方法[J].师范高等专科学校学报,2003.

[6]张永平.运用特殊化思想解题的几种途径[J].初中数学教与学,2007年(2):19-20.

[7]陆志昌.特殊化思想在初中数学解题中的应用[J].中学数学月刊,1995,(6):20-21.

(作者简介:孙玉玲(1987.8—)女,汉族,河南省驻马店市人,黄淮学院数学科学系数学与应用数学专业。)