拆项巧算分数（式）求和题

丁学明

在各类数学竞赛题中，有一类数目庞大、项数繁多的分数（式）求和题.这类题目让人望而生畏，但我们只要仔细分析，就会发现每一个项都可以拆成两项，这一拆项，就为解题创造了条件.下面选取几例谈谈.

1． 根据“=+ ”进行拆项巧算.

例1计算：-+-+- × 23 × 21 .（1996年北京市“迎春杯”数学竞赛初一试题）

解：原式=［-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）］ × 23 × 21

=（--++-- ++--） × 23 × 21

=- × 23 × 21

=-21.

例 2若n=1 + -+-+-+，则n的负倒数是.（1995年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）

解：n=1+-（+）+（+）- （+）+（+）-（+）+（+）

=1+--++--++--++

=1+

=.

故n的负倒数是-.

2． 根据“=-”进行拆项巧算.

例3计算：+++……+=.（1999年《初中生数学学习》初一“希望杯”竞赛题）

解：原式=（1-）+（-）+ （-） +……+ （-）

=1-+-+-+……+-

=1- =.

3． 根据“=（-）”进行拆项巧算.

例4计算：+++……+=.（1997年天津市数学竞赛试题）

解：原式= × （-）+ × （-）+ × （ -）+……+ × （-）

= × （-+-+-+…… +-）

= × （-）

=

=.

4． 根据“=-”进行拆项巧算.

例5计算：1+++……+=.（1994年“祖冲之杯”数学竞赛试题）

解：原式=1+（-）+（-）+（-）+……+（-）

=1+-+-+-+……+-

=2-

=.

例6计算：+++……+=.（哈尔滨市第七届“未来杯”数学竞赛试题）

解：原式=（-）+ （-）+（-）+……+（-）

=-+-+-+……+-

=1-

=.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。