用函数性质解数列问题的错误一例

张长雁

数列是按一定次序排列的一列数.在函数意义之下，数列是定义域为正整数集合N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数f(n)当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1),f(2),f(3),…，f(11),…，通常用a-n代替f(n)，简记｛a-n｝，其中a-n是数

列{an}的第n项.这样，我们可以通过函数的性质类推数列的某些特性，但是，反过来，由已知数列的某些特性去确定参数的取值范围时，我们习惯地运用函数的性质去解决，从而导致了一些不易察觉的错误.下面就本人在教学过程中，师生讨论的一例情况展示如下：

问题：已知数列{an}为递增数列，且对于一切的正整数n，都有an=n2+λn恒成立，求λ的取值范围.

教师：如何理解数列{an}为递增数列?

学生：对于一切的正整数n，都有an.

教师：那么，本题怎么解?先独立思考几分钟，再推算，如果实在想不出解决的办法，再相互讨论.

(经过2分钟后，有人举手发言)

学生甲：由an得到λ+2n+1>0后，不知如何做了?

学生乙：由an得到λ>-(2n+1)后，不知如何做了?

教师：你如何想到做移项的转化呢?

学生：因为要求解λ的范围.

教师：解出不等式λ>-(2n+1)是一步关键的转化，但由题意知是否成立?

学生乙：对于一切的正整数n，不等式λ>-(2n+1)应恒成立.

教师：那么必须λ大于多少?

学生乙：啊!只需λ大于-(2n+1)的最大值就可以，是λ>-3.

教师：还有不同的意见吗?

学生丙：我的解法与刚才的同学的不同!

教师：请你板演一下.

学生丙的解答如下：

解：因为an=n2+λn=(n+λ2)2-λ24，由二次函数的图像知道，当图像开口向上时，an在n∈(-λ2,+∞)时递增，所以要使数列{an}在n∈N*时为递增数列，必须对称轴n=-λ2≤1，即λ≥-2.

教师：同学们判断一下，到底哪一种的解答正确呢?

(学生议论纷纷，无法确定，教师启发)

教师：能否用排除法?不妨取λ=-2.5试一试数列{an}是否递增?

学生板演：an=n2-2.5n=(n-1.25)2