提高高中数学解题教学中探究性学习的有效性摭谈

陈万龙　元正全

一、问题的提出

高中数学课程标准的基本理念明确指出“高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式”，“使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程”，“高中数学课程设立‘数学探究等学习活动”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”这些理念明确了一个教育改革趋势：在数学教学中提倡“探究性学习”，加强学生数学探究能力的培养.

而探究能力的培养，仅靠几次数学探究活动是难以获得预期效果.故运用数学解题教学情境来培养学生的探究能力将成为实现这一基本理念的主要途径.但近几年我们在数学教学调研中发现有几种不良教学探究行为：第一，教师接二连三地问，学生断断续续地答，教师不断发出指令，学生手忙脚乱地执行“探究”，其间学生完全被教师的思维设计左右，学生处处处于被动局面，这种探究不能称其为探究；第二，一味追求探究过程的真实、自然，放任学生探究的所谓“科学探究”也不是有效地探究学习，这种探究过程中学生处于失控状态，教师没有发挥其教学活动中的主导作用，因为有效的探究学习离不开教师的科学调控，精心设计.事实上解题教学中进行探究性学习，是让学生经历解题思路的发现、解题方案的制订和实施的过程，有助于加深学生对数学知识的理解和掌握，它有助于培养学生应用知识分析问题和解决问题的能力，有助于锻炼学生的思维能力和创新能力.

探究活动的启动有赖于问题情景的创设，然而，在解题教学中，教师精心设计了数学问题，学生探究学习是否一定有较好的效果?下面从“有效的探究性学习的特征”和“教师如何引导探究——让学生的探究更有效”两方面谈谈个人的认识.

二、有效探究性学习的特征

(一)自主性.建构主义认为，知识不是客观的东西，而是主体的经验、解释

和假设，教学要创设一定的环境，促进学习者主动建构知识的意义.引导学生自主发现规律，自主寻找方法，自主探究思路，自主解决问题.高中数学课程标准的基本理念指出：数学教学应倡导积极主动、勇于探索的学习方式，发挥学生学习的主动性.前面提到的第一种探究形式就严重违背了学生在探究学习中的自主原则.

(二)科学性.探究活动的内部机制是思维活动.今天，人们对自身头脑的活动

已有较多的认识，应用发现的思维规律指导探究，可以使探究少走弯路，探究过程更规范、有序.

(三)时效性.时效是指单位时间内的教学效果.无论哪一种教学形式，课堂效

率高才应该受到推崇.

(四)成效性.成效指教学活动价值的实现程度，指课堂容量大小，它和时效

一样都是衡量课堂效率的重要指标.前面第二种探究形式就没有实现探究教学活动的较高时效性和较好的成效性.

有效的探究学习应兼顾以上四个特征，四者不可偏废.因此教师应根据探究活动的内部机制，结合探究内容、学生的基本学情，适时、恰当地精心设计、科学调控解题教学中的探究活动.

三、解题教学中，教师如何引导探究——让学生探究更有效

(一)教给学生探路的方法，让学生探究更科学

探究解题思路的思维活动是对问题的识别、归类和假设验证的过程.据心理学研究表明：探究解题思路首先是对问题的类型加以识别，根据各类问题的特征准确地将其归类，以便应用相应的解题方法求得问题的解决.高中生已积累了丰富的解题经验，理性思维得到一定程度地发展.教给他们科学的探索解题思路的方法，或者说是明晰原来已存在头脑中但是说不清、道不明的解题意识，无疑会给他们在自主探索时减少盲目性，使探究更科学.

根据波利亚的解题思想，探究解题思路的思索阶段可分三步：审题—联想—探路.每一步学生可根据下列“思索三步问题表”向自己提一些问题，促使自己在探究中摸索着前进.

思路三步问题表：

步

骤问题或建议审

题1.已知和要求各是什么?实质是什么?

2.有何关键或特点?能否换一种语言叙述题意?能否画题意附图.联

想3.这是何种类型题目?常有哪几种解法?先选哪一种试探?能最后解、证得出吗?

4.联想了哪个知识，怎样利用它?能进一步转化吗?探

路5.能否先把已知转化为可知，未知转化为需知?思路是否连通?

6.能否先研究特例或部分问题，从中获得启示?

7.转化难以实现的症结是什么?(二)适时介入探究过程，提高探究的时效性

新课标倡导充分发挥学生的主体性，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新.同时也提出在探究活动中教师决不能只是旁观者的角色，而应该做探究活动的合作者、引导者、促进者，自始至终参与探究历程.

课堂教学有生成性，探究活动中，探究受阻，探究偏离预定方向是普遍存在的现象.我们并不排除此时从课堂实际出发而修改教学目标，调整教学进度的作法，但这只是个别情况下的特例.试想每堂课都为了探究而探究，延缓教学目标的实施，这显然是不现实的.一般情况下，此时教师应选择恰当的时机、适当的方式介入探究过程，促使探究活动顺利达到预定目标.

1.介入的时机和方式.孔子早就说过：“不愤不启，不悱不发.”意思是说：只有在学生思考不出而产生烦闷心情时，在学生想说又说不出来时，教师才予以启发.探究活动中，教师应通过巡视、参与、倾听，从学生的目光、表情、举止和他们的练习、答问或质疑中捕促“愤、悱”的时机适时介入.教师可以通过提供铺垫性问题，为学生探究提供脚手架；也可通过提问的方式启导思维，帮助学生打开思路；另外，教师还要审时度势及时调整探究方式，组织学生合作探究.

2.介入的原则：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达.”教师的介入，是通过比较自然的帮助，促使学生自己想出一个好念头.

(三)借题引发再次探究，扩大探究的成效性

很多解题教学的课堂，教师提供多个毫无关联的问题让学生探究学习，由于要阅读多个不相关的问题情景，势必增加学生阅读理解的负担，浪费大量宝贵的时间，不利于增大课堂容量，而且由于问题过于分散，不利于帮助学生建构较为系统的方法体系，不利于培养思维的深刻性.若能以中心问题为依托，充分把握中心问题的辐射功能和教学功能，既能有效地扩大容量，又能使学生的思维无论从广度、深度，还是思维品质得以全方位的锤炼.

1.引导学生反思过程，优化解题思路

罗增儒教授认为：思路一旦打通，解法初步得出，便终止解题活动，这会使思维的暴露与理

解徘徊于表层段面.“总是囿于探索看探索，不能跳出探索，居高临下地看探索.因此，还需要数学解题思维过程的继续暴露.”此时，教师应帮助学生发现思维回路中多余的思维“冗余”，体会其中蕴含的数学思想.

例1 (2004湖北高考题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.

学生经过自主探究，很快得出如下解法：

解：将直线和双曲线联立消y后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0，依题意，方程(k2-2)·x2+2kx+2=0有两个不小于22的根.

设f(x)=(k2-2)x2+2kx+2，则

(1)k2-2>0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≥0或

(2)k2-2<0

△=-4k2+16>0

-2k2(k2-2)>22

f(22)≤0解之得-2

引导学生分析：(2)式的解集为空集，能事先预知吗?学生经过讨论，画图分析，发现：由于f(x)的图像恒过(0，2)点，开口向下时，不可能与x轴交点都在22右侧.所以不等式组(2)是无效的，多余的.

之后再次引导学生讨论：方程2x2-y2=1(x≥22)和方程2x2-y2=1(x>0)等价吗?由此你有何启发?学生再次讨论得到改进的方法：k2-2≠0

△=-4k2+16>0

-2kk2-2>0

2k2-2>0解得-2

2.引导学生一题多解，培养思维灵活性

教师帮助学生突破集中的思维定势，多角度地引导学生观察，分析问题的性质特征，想象、思考、探索，另辟蹊径解决问题.

例2 已知a>b>c>0，求证：1a-b+1b-c+1c-a>0.

学生的一般解法是把目标式左边通分，化简，再把分子变形以便判断它为正数.此时，教师可引导学生思考：尽管通分化简是解决有关分式问题的常规方法，但如果项数增多或分母的次数增高，那就不但计算量增大，而且难度也增大.因此，这种情况下应设法缩小通分的范围或避免通分.师生经过合作探讨，可得以下两种方法：

证二：1a-b+1b-c+1c-a>01a-b+1b-c>1a-c赼-c(a-b)(b-c)>1a-c醓-c>0

a-ca-b·a-cb-c>1醓>b>c.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

证三：∵a>b>c>0,∴a-b>0,a-c>b-c>0.∴1a-b>0,1b-c+1c-a=1b-c-1a-c>0.∴1a-b+1b-c+1c-a>0.

对于一个题目，从不同角度去观察和分析，会得到不同的启示，引出不同的解法.当然，我们的目的不是探究几种解法，而是通过一题多解，学会综合运用所学知识，发展思维能力，训练思维的灵活性和深刻性.

3.引导学生一题多变，培养思维发散性

所谓一题多变是指根据问题的性质或特征与考察的知识或能力，按照一定的梯度、广度、深度进行迁移，类比或拓展、延伸.一题多变以中心问题为依托，实现由点到面的扩展，充分发挥中心问题的辐射功能，从而有助于强化深化相关问题及解题思维系统性的理解和掌握，有助于增加课堂的知识容量和思维容量，提高课堂效率.

例3 四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，问图中有几个直角三角形?(人教版高中数学第三册下B第24页第3题.)

变式一：若A在PB、PC、PD上的射影分别为E、F、G，求证：AE⊥面PBC.

变式二：求证：变式一中A、E、F、G四点共面.

变式三：求证P、A、B、C、D五点共球.

变式四：若设BD=3，AP=1，求A、C两点间的球面距离.

这一组变式题由浅入深，由表及里，知识跨度大，引导学生探究，可使学生的立体几何知识体系经历一次部分到整体，再由整体到部分的大循环，可极大地提高学习效果.

4.引导学生编题训练，培养知识迁移能力

一题多变是一种创造性劳动，教师除了自己精心设计变式外，还要注意引导学生编题.下面是一位学生在学习探究过程中的一次编题个案：

进入高三第一轮复习，我们在老师的指导下，一方面对教材上的概念、例题、习题等逐章逐节研究，另一方面对近几年的高考命题也展开研究.我在对04与05年有关“线性规划”试题研究中，发现04年的相关试题紧扣教材的试题原型，其形式单一，内容简单；而05年的相关试题的问题情景发生了改变，有考查与三角形交汇的问题，如05年浙江卷；有考查与直线交汇的问题，如05年江西卷；有考查与概率统计交汇的问题，如05年辽宁卷.当我们在复习函数时，我突发奇想：线性规划问题可以与函数交汇吗?

有了这种想法，我就多了一条搜寻线索.有一次我发现一道这样的函数题：

题1 如右图：等腰梯形ABCD的两底分别为AB=2a,DC=a,∠DAB=π

4，作直线MN⊥AB，交AB于点M，交折线ADCB于N，设AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示成x的函数，并写出其定义域.

解答过程中，我发现上图中直线MN的左侧阴影部分是一个变化的平面区域，倘若在图中引入平面直角坐标系，将梯形的四条边所围的区域看成可行域，就可以创设一个“线性规划”新题.

变式1：试作出由不等式0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所确定的可行域.

变式2：试求出由不等式组0≤y≤a2

y≤x

x+y≤2a所围成区域的面积.

但题1中的阴影部分也是一个变化的平面区域，它是 由可移动直线MN确定，又直线MN的位置由AM=x中的x确定，倘若我们引入一个可移动的区域与变式1中的可行域相交，就可以得到一个与函数交汇的线性规划创新题.

这对培养学生的知识迁移能力与创新能力有极其重要的作用.另外，问题来源于学生，又让他们去解决自己变化出来的问题，可想学习的兴趣将会何等高涨.

5.引导学生串题分析，引发课题探究

数学题目繁星闪烁，千变万化，但并非孤立无联系，在解题中我们总会碰到一些似曾相识的问题，此时，应停下脚步，引导学生把这些问题串在一起，从命题形式和解题方法上加以对比，分析研究，抽象概括，由感性经验上升到理性认识，获得对这一类问题的本质理解.这实际上是一种类似课题研究的探究，对深化学生对问题的认识，提高解题能力有极大的帮助.

例4 在高三复习中碰到这样一系列问题：

(1)若|x-(a+1)22|≤(a-1)22与x2-3(a+1)

x