若干数学问题的简证

魏烈斌

本文给出数学通报刊出的几个数学问题的简证.

1 数学问题1464 若a,b,c为实数，且a+b+c=1,则75≤a+b+2b+c+3c+a≤11910.

原证法是通过建立空间曲线并利用偏导数给出的，下面给出一个简证.

设x=a+b,y=2b+c,z=3c+a，则x≥0,y≥0,z≥0，且5x2+y2+2z2=7.

而(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)≥x2+y2+z2=15(5x2+5y2+5z2)≥15(5x2+y2+2z2)=75.

所以x+y+z≥75.

当且仅当x=75,y=z=0，即a=65,b=15,c=-25时，取等号.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”