与圆锥曲线的切点弦相关的性质

张功萍

过一点作圆锥曲线的两条切线，切点间的连线段称为切点弦.

2005、2008年江西省高考解析几何试题都涉及到切点弦，笔者对圆锥曲线的切点弦作了以下探究.

一、切点弦所在直线的方程

关于二次曲线的切线，有以下结论

引理 过二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全为零)上一点(x0,y0)的切线，只要把曲线方程中x2,y2,x,y分别替换成x0x,y0y,x0+x2,y0+y2得到的就是切线的方程.

定理1 过二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0(a,b不全为零)外一点(x0,y0)作它的两条切线，则切点弦所在直线方程是ax0x+by0y+c•x0+x2+d•y0+y2+e=0.

证明：设两切点为(x1,y1),(x2,y2)，则两切线方程是ax璱x+by璱y+c•x璱+x2+d•y璱+y2+e=0(i=1,2),两切线过点(x0,y0)，有ax璱x0+by璱y0+c•x璱+x02+d•y 璱+y02+e=0(i=1,2),得点(x1,y1),(x2,y2)均在直线ax0x+by0y+c•x0+x2+e=0上，所以切点弦的方程是ax0x+by0y+c•x0+x2+d•y0+y2+e=0.

利用该定理结论，对于求解08年江西高考解析几何题第(2)问，则异常简单，在该试题中，a =1,b=-1,c=d=0,e=-1，即过AB的切点弦方程为x0x-y0y-1=0.∵P(x0,y0)在x=m上，则mx-y0y-1=0(*),显见M(1m,0)满足方程(*)，∴A、M、B三点共线.

二、切点弦所在直线的性质

定理2 过椭圆x2a2+y2b2=1外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线分别与x轴、y轴交于点(x2,0)和(0,y2)，则x1x2=a2,y1y2=b2.

证明：由定理1知，切点弦所在直线方程是x1xa2+y1yb2=1，因点(x2,0)和(0,y2)在切点弦所在直线上，所以x1x2a2=1,y1y2b2=1，得x1x2=a2,y1y2=b2.

推论 动点P在直线x=m(或y=m)上移动，过P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(a2m,0)或(0,-b2m).

同理可得

定理3 过双曲线x2a2-y2b2=1外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线分别与x轴、y轴交于点(x2,0)和(0,y2)，则x1x2=a2,y1y2=-b2.

推论 动点P在直线x=m(或y=m)上移动，过P作双曲线x2a2-y2b2=1的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(a2m,0)或(0,-b2m).

定理4 过抛物线y2=2px外一点(x1,y1)作它的两条切线，切点弦所在直线与x轴交于点(x2,0),则x1+x2=0.

推论 动点P在直线x=m上移动，过P作抛物线y2=2px的两条切线，则切点弦所在直线经过定点(-m,0).

特别地，过圆锥曲线准线上的点作它的两条切线，则切点弦所在直线经过相应的焦点.

三、定点弦端点切线交点的轨迹

定理5 椭圆x2a2+y2b2=1的弦AB所在直线过x轴上定点M(m,0)，(或y轴上定点N(0，m))，则椭圆在点A、B处的切线交点轨迹是定直线x=a2m(或y=b2m)(在椭圆外部分).

证明：令A(u1,v1),B(u2,v2)，由定理1，知切线方程是u1xa2+v1yb2=1①，u2xa2+v2yb2=1②，①×v2-②×v1得x=a2(v2-v1)u1v2-u2v1,又A(u1,v1),M(m,0),B(u2,v2)三点共线，有v1u1-m=v2u2-m,得v2-v1u1v2-u2v1=1m，所以x=a2m.

同理可得

定理6 双曲线x2a2-y2b2=1的弦AB所在直线过x轴上定点(m,0)，(或y轴上定点(0，m)),则双曲线在点A、B处的切线交点轨迹是定直线x=a2m(或y=-b2m)(在双曲线外部分).

定理7 抛物线y2=2px的弦AB所在直线过x轴上定点(m,0)，则抛物线在点A、B处的切线交点轨迹是定直线x=-m(在抛物线外部分).

特别地，圆锥曲线的焦点弦端点处切线交点轨迹是相应的准线.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”