从２００８年广东文科数学试题中数列压轴题的解法看递推关系求通项的常见类型

陈水松　詹　波

今年广东文科数学的最后一题是

设数列｛a璶｝满足a1=1,a2=2,a璶=13•(a﹏-1+2a﹏ -2)(n=3,4，…).数列｛b璶｝满足b1=1,b璶(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤b璵+b﹎+1+…+b﹎+k≤1.

(1)求数列｛a璶｝和｛b璶｝的通项公式；

(2)记c璶=na璶b璶(n=1,2,…)，求数列｛c璶｝的前n项和S璶.

本文仅对｛a璶｝的通项公式的求解作一探讨，请同仁指正.

解法一：由a璶=13(a﹏-1+2a﹏-2),得a璶-a﹏-1=-23(a﹏-1-a﹏-2)(n≥3),又a2-a1=1≠0,∴数列｛a﹏+1-a璶｝是首项为1公比为-23的等比数列，a﹏+1-a璶=-23﹏-1,

∴a璶=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a璶-a﹏-1)=1+1+(-23)+(-23)2+…+(-23)﹏-2=1+1-(-23)﹏-11+23=85-35•(-23) n-1.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”