过两圆交点的圆系方程的推导、拓广及应用

李凤华

数学高考科《考试要求》对于圆这部分，要求在内容上掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程；在能力上能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.由此可知，求圆系方程的问题无论是从方法上，还是从内容上都是教学中必须注意的问题.而这种问题通常的表现形式是：过两个已知圆的交点，又满足另外一个条件求圆的方程.例如，普通高中课程标准实验教科书数学必修2第132页习题4.2第4题“求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆的方程”，133页第10题“求经过点M(2，-2)以及圆x²+y²-6x=0与圆x²+y²=4交点的圆的方程”.对于这种题型，我们若采用先解方程组求交点，再按待定系数法求解，运算量大，过程繁琐，容易出错.但若用过两圆交点的圆系方程，便可避免解方程组，从而减少了运算量，提高了解题速度和准确率.但是在过两圆交点的圆系方程的教学中，教师并不能从现有知识结构中给学生一个合理的逻辑解释，只是告诉学生方程表示圆，此圆过两圆的交点，所以许多学生怀疑过交点的所有圆其方程都可表示为这种形式.因此本文就圆系方程问题，从理论上给予证明和拓广，并举例说明圆系方程的妙用.